A,B为n阶非零方阵,若r(A)=r(AB),是否必有A可逆?若r(A)=r(AB),证明ABx=0和Bx=0同解题目写错了,应该是r(B)=r(AB),抱歉

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:05:03
A,B为n阶非零方阵,若r(A)=r(AB),是否必有A可逆?若r(A)=r(AB),证明ABx=0和Bx=0同解题目写错了,应该是r(B)=r(AB),抱歉A,B为n阶非零方阵,若r(A)=r(AB

A,B为n阶非零方阵,若r(A)=r(AB),是否必有A可逆?若r(A)=r(AB),证明ABx=0和Bx=0同解题目写错了,应该是r(B)=r(AB),抱歉
A,B为n阶非零方阵,若r(A)=r(AB),是否必有A可逆?若r(A)=r(AB),证明ABx=0和Bx=0同解
题目写错了,应该是r(B)=r(AB),抱歉

A,B为n阶非零方阵,若r(A)=r(AB),是否必有A可逆?若r(A)=r(AB),证明ABx=0和Bx=0同解题目写错了,应该是r(B)=r(AB),抱歉
r(B)=r(AB) 得不出 A可逆,也得不出B可逆,没这结论
显然 Bx=0 的解 是 ABx=0 的解
因为 r(B)=r(AB)
所以 Bx=0 的基础解系 是 ABx=0 的基础解系
故 ABx=0 和 Bx=0同解
另证:
AB 的行向量可由 B 的行向量组线性表示
再由r(B)=r(AB)知 AB与B的行向量组等价
故 ABx=0 和 Bx=0同解

r(A)=r(AB)
B必满秩,也就是必可逆,Bx=0只有0解,ABx=0未必