不等式证明题..已知a、b、c均大于等于1且a+b+c=9.求证√a+√b+√c>=√(ab+bc+ac)1L你的方法不对
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 18:51:26
不等式证明题..已知a、b、c均大于等于1且a+b+c=9.求证√a+√b+√c>=√(ab+bc+ac)1L你的方法不对
不等式证明题..
已知a、b、c均大于等于1且a+b+c=9.求证√a+√b+√c>=√(ab+bc+ac)
1L你的方法不对
不等式证明题..已知a、b、c均大于等于1且a+b+c=9.求证√a+√b+√c>=√(ab+bc+ac)1L你的方法不对
这道题的难点在于左右次数不等和大于等于一的条件,而且大于等于一好像并不是最优的.可以通过两边平方换元求偏导数算出一个二元函数的最小值,再证明这个最小值大于等于0即可.至于漂亮的初等证法还没找到.（只利用柯西、基本这些不等式肯定是不行的,因为要用到大于等于一的条件,当有一个变量很小时会爆掉）
当a+b+c=3时，证明如下：
证明： 因 a^2+ √a+√a≥3a (用三个数的基本不等式） ，即：a^2+2√a≥3a,
同理：b^2+2√b≥3b, c^2+2√c≥3c.
相加得：(a^2+b^2+c^2)+2(√a+√b+√c)≥3(a+b+c)=[(a+b+c)^2
即 2(√a...
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当a+b+c=3时，证明如下：
证明： 因 a^2+ √a+√a≥3a (用三个数的基本不等式） ，即：a^2+2√a≥3a,
同理：b^2+2√b≥3b, c^2+2√c≥3c.
相加得：(a^2+b^2+c^2)+2(√a+√b+√c)≥3(a+b+c)=[(a+b+c)^2
即 2(√a+√b+√c)≥(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) ＝2(ab+bc+ca)
所以： √a+√b+√c≥ab+bc+ac
收起
(√a+√b+√c)^2=a+b+c+2√(ab)+2√(bc)+2√(ac)
a+b+c=1/2*(a+b+b+c+a+c)>=√(ab)+√(bc)+√(ac)
所以(√a+√b+√c)^2 >=3√(ab)+3√(bc)+3√(ac)
证明：（√a+√b+√c）²≥a+b+c=√a²+√b²+√c²
由排序不等式得知：√a²+√b²+√c²≥√ab+√bc+√ac
a=b=c时取等号。
故得证明之。