系统稳定性与系统特征方程的根的关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 21:02:00
系统稳定性与系统特征方程的根的关系
系统稳定性与系统特征方程的根的关系
系统稳定性与系统特征方程的根的关系
一般来说,稳定性成为区分系统是否有用的标志.从实际应用的角度来看,可以认为只有稳定系统才有用.\x0d3.1.1 稳定性的基本概念\x0d原来处于平衡状态的系统,在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态.所谓稳定性,就是指系统在扰动作用消失后,经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能.若系统能恢复到原来的平衡状态,则称系统是稳定的；若干扰消失后系统不能恢复到原来的平衡状态,偏差越来越大,则系统是不稳定的.\x0d系统的稳定性又分两种情况：一是大范围内稳定,即起始偏差可以很大,系统仍稳定.另一种是小范围内稳定,即起始偏差必须在一定限度内系统才稳定,超出了这个限定值则不稳定.对于线性系统,如果在小范围内是稳定的,则它一定也是在大范围内稳定的.而对非线性系统,在小范围内稳定,在大范围内就不一定是稳定的.本章所研究的稳定性问题,是线性系统的稳定性,因而是大范围内的稳定性问题.\x0d一般来说,系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性,如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的,则此系统就被认为是总体稳定的.不难证明,对于线性定常系统,零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的.所以线性定常系统的稳定性是通过系统响应的稳定性来表达的.\x0d3.1.2 线性系统的稳定性\x0d线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的,而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式,它包含两部分：稳态分量（又称强制分量）和瞬态分量（又称自由分量）.稳态分量对应微分方程的特解,与外作用形式有关；瞬态分量对应微分方程的通解,是系统齐次方程的解,它与系统本身的参数、结构和初始条件有关,而与外作用形式无关.研究系统的稳定性,就是研究系统输出量中的瞬态分量的运动形式.这种运动形式完全取决于系统的特征方程式,即齐次微分方程式,因为它正是研究扰动消除后输出量运动形式的.\x0d单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为：\x0d系统的特征方程式为\x0d显然,它是由系统本身的参数和结构所决定的.\x0d3.1.3 线性系统稳定的充分必要条件\x0d从上节的例子可以看出,线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根.如果特征方程的全部根都是负实数或实部为负的复数,则系统是稳定的.如果特征方程的各根中即使只有一个根是正实数或只有一对根是实部为正的复数,则微分方程的解中就会出现发散项.\x0d由此可得出如下结论：线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分；或者说,特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分.由于系统特征方程式的根就是系统的极点,所以又可以说,系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在S平面的左半部分.\x0d3.1.4 劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据\x0d判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定.但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难.所以在实际应用中提出了各种工程方法,它们无需求特征根,但都说明了特征根在复平面上的分布情况,从而判别系统的稳定性.本节主要介绍代数判据.\x0d（一） 系统稳定性的初步判别\x0d设已知控制系统的特征方程\x0d式中所有系数均为实数,且a0>0\x0d系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数.可简单证明如下：\x0d将特征方程写成用特征根表达的形式（3-1）假如所有特征根均在S平面的左半部,即-σi