1.设f(x)是三次函数,且limx→-1 f(x)/(x+1)=6,limx→-2 f(x)/(x-2)= -3/2,求limx→3 f(x)/(x-3)的值.2.已知limx→1 (ax^2+bx+1)/(x-1)=3,求limx→∞ ( b^n+a^(n-1) )/( a^n+b^(n-1) )需要全过程,

1.设f(x)是三次函数,且limx→-1 f(x)/(x+1)=6,limx→-2 f(x)/(x-2)= -3/2,求limx→3 f(x)/(x-3)的值.2.已知limx→1 (ax^2+bx+1)/(x-1)=3,求limx→∞ ( b^n+a^(n-1) )/( a^n+b^(n-1) )需要全过程,
1.设f(x)是三次函数,且limx→-1 f(x)/(x+1)=6,limx→-2 f(x)/(x-2)= -3/2,求limx→3 f(x)/(x-3)的值.
2.已知limx→1 (ax^2+bx+1)/(x-1)=3,求limx→∞ ( b^n+a^(n-1) )/( a^n+b^(n-1) )
需要全过程,

1.设f(x)是三次函数,且limx→-1 f(x)/(x+1)=6,limx→-2 f(x)/(x-2)= -3/2,求limx→3 f(x)/(x-3)的值.2.已知limx→1 (ax^2+bx+1)/(x-1)=3,求limx→∞ ( b^n+a^(n-1) )/( a^n+b^(n-1) )需要全过程,
1、因为limx→-1 f(x)/(x+1),limx→-2 f(x)/(x-2)存在,所以f(x)必定包含因式（x+1）（x-2）,所以设f(x)=A（x+1）（x-2）（x+a）.
又因为limx→-1 f(x)/(x+1)=6,limx→2 f(x)/(x-2)= -3/2,所以A（-1-2）（-1+a）=6,A（2+1）（2+a）=-3/2.所以A=1/2,a=-3.所以f(x)=1/2（x+1）（x-2）（x-3）.limx→3 f(x)/(x-3)=2
2、因为limx→1 (ax^2+bx+1)/(x-1)存在,所以ax^2+bx+1=(x-1)(ax-1),所以b=-a-1.limx→1 (ax^2+bx+1)/(x-1)=3,所以a-1=3,a=4,b=-5.求limx→∞ ( b^n+a^(n-1) )/( a^n+b^(n-1) )只须将数字代入,并且分子分母同时除以(-5)^n,答案为-5

1、当x→-1时，(x+1)→0,而limx→-1 f(x)/(x+1)=6，因此必有limx→-1 f(x)＝0. 由于三次函数f(x)连续，因此f(-1)＝0. 根据因式定理，f(x)有因式(x+1).
同理，由limx→2 f(x)/(x-2)= -3/2知f(x)有因式(x-2).
于是可设三次函数f(x)＝(x+1)(x-2)(ax+b). 代入
limx→-1 ...

全部展开

1、当x→-1时，(x+1)→0,而limx→-1 f(x)/(x+1)=6，因此必有limx→-1 f(x)＝0. 由于三次函数f(x)连续，因此f(-1)＝0. 根据因式定理，f(x)有因式(x+1).
同理，由limx→2 f(x)/(x-2)= -3/2知f(x)有因式(x-2).
于是可设三次函数f(x)＝(x+1)(x-2)(ax+b). 代入
limx→-1 f(x)/(x+1)=6，limx→2 f(x)/(x-2)= -3/2中，可得方程组
3a-3b=6, 6a+3b=-3/2
解得a=0.5, b=-1.5, f(x)＝(x+1)(x+2)(0.5x-1.5).
由此易知
limx→3 f(x)/(x-3)＝1.
注：此题条件“limx→-2 f(x)/(x-2)= -3/2”中“limx→-2”应改为“limx→2”，请楼主核对。
2、设f(x)＝ax^2+bx+1，仿照上一题，得f(x)有因式(x-1).
可设函数f(x)＝(x-1)(cx+d). 于是
ax^2+bx+1＝(x-1)(cx+d).
比较两边常数项，有d=-1. 故f(x)＝(x-1)(cx-1). 代入题设，得
c-1＝3，c=4, f(x)＝(x-1)(4x-1)=4x^2-5x+1.
于是a=4,b=-5.
在limn→∞ (b^n+a^(n-1)) / (a^n+b^(n-1))中分子分母同时除以b^(n-1)，得
limn→∞ (b+(a/b)^(n-1)) / (a*(a/b)^(n-1)+1)
由于(a/b)^(n-1)＝(-4/5)^(n-1)→0, 因此上述极限式中，分子趋于-5, 分母趋于1，极限为-5.
注：此题所求“limx→∞ ( b^n+a^(n-1) )/( a^n+b^(n-1) )
”中“limx→∞”应改为“limn→∞”，请楼主核对。

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