已知函数f(x)=ax+a/x+b(a,b∈R)的图像在点（1,f(x)）处的切线在y轴上的截距为3,若f(x)>x在（1,+无穷）上恒成立,则a的取值范围是【求详解】
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:20:44
已知函数f(x)=ax+a/x+b(a,b∈R)的图像在点（1,f(x)）处的切线在y轴上的截距为3,若f(x)>x在（1,+无穷）上恒成立,则a的取值范围是【求详解】
已知函数f(x)=ax+a/x+b(a,b∈R)的图像在点（1,f(x)）处的切线在y轴上的截距为3,若f(x)>x在（1,+无穷）上恒成立,则a的取值范围是【求详解】
已知函数f(x)=ax+a/x+b(a,b∈R)的图像在点（1,f(x)）处的切线在y轴上的截距为3,若f(x)>x在（1,+无穷）上恒成立,则a的取值范围是【求详解】
数学之美团为你解答
此题考查的是“对勾”函数的性质.
函数定义域：x≠0,方便起见,只考虑x>0的部分.
f'(x)=a-a/x^2,当x=1时,f'(x)=0,即此时函数的切线平行于x轴,
当a>0时,f'(x)=a(1-/x^2),在x>1时,f'(x)>0
在01时,f'(x)1
当a>1时,g'(x)=a-1-a/x^2,当x=sqrt(a/(a-1))时,g'(x)=0,当xsqrt(a/(a-1))时,是增函数,在x=sqrt(a/(a-1))处,函数取得最小值：gmin=2sqrt(a(a-1))+b
=2sqrt(a(a-1))+3-2a,如果a≤3/2,gmin>0；如果a>3/2,gmin=2sqrt(a(a-1))-(2a-3)
由于2a(a-1)-(4a^2-12a+9)=8a-9>3,所以：gmin>sqrt(3),在(1,inf)上恒有g(x)>0
所以,当a≥1时,在(1,inf)上恒有g(x)>0,即f(x)>x
这样求解看上去有点复杂,当然有更简便的方法,以上求解只是说明一种思路.
f'(x)=a-a/x^2,当x趋于inf时,f'(x)趋于a,所以此时的渐近线是一条斜率为a的直线
设方程为y=ax+h,因为当x>0时,函数的最小值是3,当xx成立.