原题如下:有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均比赛一场),用X1,Y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用X2,Y2顺次表示第2号选手胜与负的场数.,用X10,Y10顺次表示第10号选手胜与负的场
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/03 13:33:25
原题如下:有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均比赛一场),用X1,Y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用X2,Y2顺次表示第2号选手胜与负的场数.,用X10,Y10顺次表示第10号选手胜与负的场
原题如下:
有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均比赛一场),用X1,Y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用X2,Y2顺次表示第2号选手胜与负的场数.,用X10,Y10顺次表示第10号选手胜与负的场数,试说明X1²+X2²+...+X10²=Y1²+Y2²+...+Y10².
原题如下:有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均比赛一场),用X1,Y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用X2,Y2顺次表示第2号选手胜与负的场数.,用X10,Y10顺次表示第10号选手胜与负的场
由于是单循环赛,每名运动员恰好参加9局比赛,即xi+yi=9(其中i=1、2、3、…10),在比赛中一人胜了,另一人自然败了,则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键,从作差比较入手.
〔结果〕由题意知xi+yi=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10
(x12+x22+…+x102)-(y12+y22+…+y102)
=(x12-y12)+(x22-y22)+…+(x102-y102)
=(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+…+(x10+y10)(x10-y10)
=9〔(x1-y1)+(x2-y2)+(x3-y3)+…+(x10-y10)〕
=9〔(x1+x2+…+x10)-(y1+y2+…+y10)〕
=0
所以,x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.
因为是循环赛,所以每一队打了9场(即Xi+Yi=9,i=1,2,3……10),原式可化为:X1²+X2²+...+X10²-Y1²-Y2²-...-Y10²=(Xi+Yi)(X1+X2+...+X10-Y1-Y2-...-Y10),比赛的胜负总数相同,即X1+X2+...+X10=Y1+Y2+...+Y10.
X1+X2+...+...
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因为是循环赛,所以每一队打了9场(即Xi+Yi=9,i=1,2,3……10),原式可化为:X1²+X2²+...+X10²-Y1²-Y2²-...-Y10²=(Xi+Yi)(X1+X2+...+X10-Y1-Y2-...-Y10),比赛的胜负总数相同,即X1+X2+...+X10=Y1+Y2+...+Y10.
X1+X2+...+X10-Y1-Y2-...-Y10=0,原式=9*0=0,所以X1²+X2²+...+X10²=Y1²+Y2²+...+Y10²
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