求海伦-秦九昭公式证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 09:27:02
求海伦-秦九昭公式证明.
求海伦-秦九昭公式证明.
求海伦-秦九昭公式证明.
证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
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海伦公式的证明： 设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是利用余弦或正弦及面积公式的推导，而化简得到的。 简单地说：将公式进行转化 秦九昭公式证明： 把一个多项式 f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+...... +a[1]X+a[0] 改成如下形式： f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+..... +a[1]X+a[0] =（a[n]X^(n-1)+a[n-1]X^(n-2)+.......+a[1]X+a[0] =........ =(......((a[n]X+a[n-1]X+a[n-2])X+.........+a[1]X+a[0] 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值 即：v[1]=a[n]X+a[n-1] 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即：v[2]=v[1]X+a[n-2] v[3]=v[2]X+a[n-3] ......... v[n]=v[n-1]X+a[0] 这样。求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值 注意哦：括号里的数字表示下标