高数函数实根讨论帮忙做下：计论lnx=ax（a>0)的实根分布.很好，谢谢，这是用图形在解，那如果是用函数的单调性来判断呢？
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 02:44:30
高数函数实根讨论帮忙做下：计论lnx=ax（a>0)的实根分布.很好，谢谢，这是用图形在解，那如果是用函数的单调性来判断呢？
高数函数实根讨论
帮忙做下：计论lnx=ax（a>0)的实根分布.
很好，谢谢，这是用图形在解，那如果是用函数的单调性来判断呢？
高数函数实根讨论帮忙做下：计论lnx=ax（a>0)的实根分布.很好，谢谢，这是用图形在解，那如果是用函数的单调性来判断呢？
设f(x)＝ax－lnx,定义域是(0,+∞)
f'(x)＝a－1/x,令f'(x)＝0,得x＝1/a.f(x)在(0,1/a)内单调减少,在(1/a,+∞)内单调增加
x→0+时,f(x)→＋∞；x→＋∞时,f(x)→＋∞；f(1/a)＝1＋lna
若1+lna＞0,即a＞1/e,则f(x)＝0在(0,+∞)内没有实根
若1+lna＜0,即a＜1/e,则f(x)＝0在(0,1/a)内和(1/a,+∞)内各有一实根
若1+lna＝0,即a＝1/e,则f(x)＝0有一实根e
综上,a＞1/e时,方程lnx＝ax没有实根；0＜a＜1/e时,方程lnx＝ax在(0,1/a)内和(1/a,+∞)内各有一实根；a＝1/e时,方程lnx＝ax有一实根e
可以用数形结合的方法
相当于lnX的图像 与 aX的图像交点问题
初步分析
可能没有交点（无解） 可能一个交点（一个实根） 可能两个交点（两个实根）
假设有一个交点 求该点坐标
则lnx=ax 且 (lnx)'=(ax)'
解得a=1/e
则当a＞1/e时无实根
当a =1/e时一个根
当a＜1/e时两个根 一个...
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可以用数形结合的方法
相当于lnX的图像 与 aX的图像交点问题
初步分析
可能没有交点（无解） 可能一个交点（一个实根） 可能两个交点（两个实根）
假设有一个交点 求该点坐标
则lnx=ax 且 (lnx)'=(ax)'
解得a=1/e
则当a＞1/e时无实根
当a =1/e时一个根
当a＜1/e时两个根 一个根在（1，1/e） 另一个在（1/e，+∞）
收起
实数根的分布在X>0