a,b属于R+ 且 a+b=1 求b/(1+a)+a/(1+b)的最大值或者最小值

a,b属于R+ 且 a+b=1 求b/(1+a)+a/(1+b)的最大值或者最小值
a,b属于R+ 且 a+b=1 求b/(1+a)+a/(1+b)的最大值或者最小值

a,b属于R+ 且 a+b=1 求b/(1+a)+a/(1+b)的最大值或者最小值
b/(1+a)+a/(1+b)=（b+b^2+a+a^2）/(1+ab+a+b)
=(1+a^2+b^2)/(2+ab)
=[1+(a+b)^2 - 2ab]/(2+ab)
=(2-2ab)/(2+ab)
= -2 + 6/(2+ab)

a,b属于R+ a+b=1 >=2*根号(ab)
即 根号(ab)

b(1+a)+a/(1+b)
=(1-a)/(1+a)+(1-b)/(1+b)
=-1+2/(1+a)-1+2/(1+b)
=-2+2[1/(1+a)+1/(1+b)]
求b/(1+a)+a/(1+b)的最大值和最小值
即求1/(1+a)+1/(1+b)最值
1/(1+a)+1/(1+b)
=(1+a+1+b)/(1+a)(1+b...

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b(1+a)+a/(1+b)
=(1-a)/(1+a)+(1-b)/(1+b)
=-1+2/(1+a)-1+2/(1+b)
=-2+2[1/(1+a)+1/(1+b)]
求b/(1+a)+a/(1+b)的最大值和最小值
即求1/(1+a)+1/(1+b)最值
1/(1+a)+1/(1+b)
=(1+a+1+b)/(1+a)(1+b)
=3/(1+a)(1+1-a)
=3/(-a^2+a+2)
=3/[-(a-1/2)^2+9/4]
所以a=1/2 b=1/2 最小值 2/3
无最大值

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由均值不等式有1=a+b≥2√ab，化简得
ab≤1/4，当a=b=1/2时取得等号
所以原式= b/(1+a)+a/(1+b)
= [b(1+b)+a(1+a)]/ [(1+a)(1+b)]
= [b+b²+a+a²]/ [1+a+b+ab]
= [(a+b)+(a+b)²-2ab]/ [1+(a+b)+ab]
= [...

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由均值不等式有1=a+b≥2√ab，化简得
ab≤1/4，当a=b=1/2时取得等号
所以原式= b/(1+a)+a/(1+b)
= [b(1+b)+a(1+a)]/ [(1+a)(1+b)]
= [b+b²+a+a²]/ [1+a+b+ab]
= [(a+b)+(a+b)²-2ab]/ [1+(a+b)+ab]
= [1+1-2ab]/ [1+1+ab]
= [2-2ab]/ [2+ab]
= [6-2(2+ab)]/ [2+ab]
= [6/ (2+ab)]-2
≥[6/ (2+1/4)]-2
=2/3
所以a=1/2，b=1/2 时原式有最小值2/3，没有最大值

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b=1-a 0=代入b/(1+a)+a/(1+b)得
原式=(1-a)/(1+a)+a/(2-a) 通分得
=(2a^2-2a+2)/(-a^2+a+2）
=-2+6/(-a^2+a+2）
-a^2+a+2 =-(a-1/2)^2+9/4 最大值为9/4 最小为2
把-a^2+a+2=2代入得 原式=1 （最大值,a=0,b=1）
把-a^2+a+2=9/4代入 原式=2/3 （最小值,a=b=1/2）

有最小值
∵a＋b＝1
∴b／（1＋a）＋a／（1＋b）
＝b／（2a＋b）＋a／（2b＋a）
＝（b／2a）＋1＋（a／2b）＋1
＝2＋（b／2a）＋（a／2b）≥2＋2√1／4＝
2＋2×（1／2）＝2＋1＝3
∴原式有最小值为3
〔此式套用了基本不等式的方法〕
也许有点眼花缭乱，要仔细看...

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有最小值
∵a＋b＝1
∴b／（1＋a）＋a／（1＋b）
＝b／（2a＋b）＋a／（2b＋a）
＝（b／2a）＋1＋（a／2b）＋1
＝2＋（b／2a）＋（a／2b）≥2＋2√1／4＝
2＋2×（1／2）＝2＋1＝3
∴原式有最小值为3
〔此式套用了基本不等式的方法〕
也许有点眼花缭乱，要仔细看

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令a=(sinx)^2,b=（cosx)^2 ,然后反复利用(cosx)^2+(sinx)^2=1
原式=（cosx)^2/[1+(sinx)^2]+(sinx)^2/[1+(cosx)^2]
=[1+(cosx)^4+(sinx)^4]/[2+(sinx)^2+(cosx)^2]
=[2-2(cosxsinx)^2]/[2+(sinxcosx)^2]

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令a=(sinx)^2,b=（cosx)^2 ,然后反复利用(cosx)^2+(sinx)^2=1
原式=（cosx)^2/[1+(sinx)^2]+(sinx)^2/[1+(cosx)^2]
=[1+(cosx)^4+(sinx)^4]/[2+(sinx)^2+(cosx)^2]
=[2-2(cosxsinx)^2]/[2+(sinxcosx)^2]
令t=sinxcosx=1/2sin2x≤1/2
∴t^2≤1/4
原式=(2-2t^2)/(2+t^2)
=[-2(t^2+2)+6]/（t^2+2）
=-2+6/(t^2+2)
∵t^2≤1/4
∴t^2+2≤9/4
6/(t^2+2)≥8/3
原式≥2/3
故原式有最小值2/3，无最大值

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