棣莫佛定理证明有用初等数学方法证明的吗?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/22 08:44:42

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棣莫佛定理证明有用初等数学方法证明的吗?
棣莫佛定理证明
有用初等数学方法证明的吗?

棣莫佛定理证明有用初等数学方法证明的吗?
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
1.将e^t,sint , cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n!+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ,可得欧拉公式
应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
证毕
补充说明,棣莫佛定理对于实数同样成立,只是高中教材没写
你读高中吗?如果在读高中,可能不懂泰勒级数,这是微积分的知识,等我有空再把初等数学的证法写出来
有
（cosx+isinx)*(cosy+isiny)=cosx*cosy - sinx*siny +(sinx*cosy +cosx*siny)*i=cos(x+y)+isin(x+y)
令x=y=n
可得 (cosn+isinn)^2 = cos(2n)+isin(2n)
令x=n y=2n,可得 (cosn+isinn)*(cos2n+isin2n)=cos3n+isin3n
接下来你知道怎么办了吧?

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