5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/23 02:27:27
5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)dx/dy=(x-y)/y=x/y-1令x/y=u,则dx/dy=u+ydu/d

5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)
5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)

5.求齐次方程dy/dx=y/(x-y)
dx/dy=(x-y)/y=x/y-1
令x/y=u,则dx/dy=u+ydu/dy
所以u+ydu/dy=u-1
ydu/dy=-1
du=-dy/y
两边积分:u=-ln|y|+C
x=-yln|y|+Cy

求微分方程dy/dx=y/(x-y)的通解
ydx-(x-y)dy=0
即有ydx+(y-x)dy=0............(1)
P=y,Q=y-x;因为∂P/∂y=1,∂Q/∂x=-1,故∂P/∂y≠∂Q∂x,所以不是全微分方程。
先求积分因子:
G(y)=...

全部展开

求微分方程dy/dx=y/(x-y)的通解
ydx-(x-y)dy=0
即有ydx+(y-x)dy=0............(1)
P=y,Q=y-x;因为∂P/∂y=1,∂Q/∂x=-1,故∂P/∂y≠∂Q∂x,所以不是全微分方程。
先求积分因子:
G(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1+1)=2/y;
故得积分因子μ=e^∫(-2/y)dy=e^(-2lny)=e^(lny⁻²)=1/y²;
用此积分因子乘方程(1)的两边得:
(1/y)dx+[(y-x)/y²]dy=0
这是一个全微分方程,即有:d[(x/y)+ln∣y∣]=0
故得通解为(x/y)+ln∣y∣=C.

收起