如何证明锐角三角形中的正方形面积最大

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/20 14:03:05

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如何证明锐角三角形中的正方形面积最大
如何在锐角三角形中做一个面积最大的正方形,并证明

设锐角三角形ABC对应3条边为 a≤b≤c
那么正方形一条边在BC=a上的为面积最大的正方形.
画法如图：
1. 在AB（或AC）边上远离A处取一点P做正方形 PQNM,NM在BC上,Q在三角形内.
2. 做射线BQ交AC于E点
3. 做EH垂直BC,EF//BC,FG垂直BC.得四边形 EFGH
则四边形EFGH 即是三角形ABC内面积最大的正方形.

分析：要使△ABC的内接正方形面积最大,只要正方形的边长最大即可.
证明：设△ABC中a边上的高为Ha,b边上的高Hb,c边上的高Hc,
∵S△=1/2a*Ha=1/2b*Hb=1/2c*Hc 即：a*Ha=b*Hb=c*Hc,
又∵a＜b＜c,∴Hc＜Hb＜Ha.
∴正方形的一边取在最小边a边上、且正方形边长小于a(不然,正方形另两个顶点将落在三角形之外）,它的长度就取决于a边上的高的高度,高度值越大,正方形的边长相应也大,由于Hc＜Hb＜Ha,
∴正方形PQNM的P点取在AB边或AC边上,EH或FG将取得最大值.也就是△内接正方形的边长取得最大值,
∴这时正方形EFGH就是△ABC的最大内接正方形.

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