高中立体几何证明图自己画正方体ABCD-A1B1C1D1,求证平面A1C1D, ACB1三等分对角线D1B谢谢回答
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 13:44:34
高中立体几何证明图自己画正方体ABCD-A1B1C1D1,求证平面A1C1D, ACB1三等分对角线D1B谢谢回答
高中立体几何证明
图自己画
正方体ABCD-A1B1C1D1,求证平面A1C1D, ACB1三等分对角线D1B
谢谢回答
高中立体几何证明图自己画正方体ABCD-A1B1C1D1,求证平面A1C1D, ACB1三等分对角线D1B谢谢回答
取截面D1B1BD. O1,O是上,下底的中点.DO1B1O为平行四边形.
∴D1E＝EF＝FB,
DO1∈平面DA1C1.OB1∈平面B1AC.
即BD1被平面DA1C1.B1AC三等分.
证明如下：
首先证明D1B与面ZB1C垂直。
设D1B与面ZB1C的交点为E，面ABCD的中心为O。
ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AC垂直于对角面BDD1B1，所以BD1与AC垂直，在对角面BDD1B1中，由平面几何或用向量方法易证B1O与BD1垂直，而OB1与AC交于一点E，所以D1B与面ZB1C垂直。
所以BE即为点B到面ACB1的距离。
然...
全部展开
证明如下：
首先证明D1B与面ZB1C垂直。
设D1B与面ZB1C的交点为E，面ABCD的中心为O。
ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AC垂直于对角面BDD1B1，所以BD1与AC垂直，在对角面BDD1B1中，由平面几何或用向量方法易证B1O与BD1垂直，而OB1与AC交于一点E，所以D1B与面ZB1C垂直。
所以BE即为点B到面ACB1的距离。
然后利用“等体积法”可以求出BE长度h：
以面ACB1为底面，B为顶点可以计算三棱锥B---ACB1的体积为（h*根下3）/6；
以ABC为底面，以B1为顶点，也可以计算出三棱锥B---ACB1的体积为1/6，（h*根下3）/6=1/6，所以：h=（根下3）/3。
而BD1=根下3，所以，h=（BD1）/3，所以E为对角线D1B的三等分点，同理可证平面A1C1D与对角线D1B的交点也为对角线D1B的一个三等分点。
所以，平面A1C1D, ACB1三等分对角线D1B。
收起