高中数学椭圆问题在平面直角坐标系xoy中,点P到两点（0,-根3）,（0,根3）的距离之和等于4.椭圆方程为4(X^2)+y^2=4,设直线y=kx+1与椭圆交于A,B两点,k为和值时OA向量垂直于OB向量?此时AB的长度的值是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 21:59:02
高中数学椭圆问题在平面直角坐标系xoy中,点P到两点（0,-根3）,（0,根3）的距离之和等于4.椭圆方程为4(X^2)+y^2=4,设直线y=kx+1与椭圆交于A,B两点,k为和值时OA向量垂直于OB向量?此时AB的长度的值是
高中数学椭圆问题
在平面直角坐标系xoy中,点P到两点（0,-根3）,（0,根3）的距离之和等于4.椭圆方程为4(X^2)+y^2=4,设直线y=kx+1与椭圆交于A,B两点,k为和值时OA向量垂直于OB向量?此时AB的长度的值是多少?
高中数学椭圆问题在平面直角坐标系xoy中,点P到两点（0,-根3）,（0,根3）的距离之和等于4.椭圆方程为4(X^2)+y^2=4,设直线y=kx+1与椭圆交于A,B两点,k为和值时OA向量垂直于OB向量?此时AB的长度的值是
设A(x1,y1)B(x2,y2)
椭圆方程为x^2+y^2/4=1
联立y=kx+1
x^2+y^2/4=1
消去y,得
（k^2+4)x^2+2kx-3=0
x1+x2=-2k/(k^2+4)
x1x2=-3/(k^2+4)
OA向量垂直于OB向量
OA向量*OB向量=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(k^2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=(1-4k^2)/(k^2+4)=0
解得
k=±1/2
｜x1-x2｜^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(16k^2+48)/[(k^2+4)^2]
AB=√(1+k^2)｜x1-x2｜=√5 /2 * 8/17 *√13=(4√65)/17
联立两方程，消y得
（4+k^2)x^2+2kx-3=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2）
则x1+x2=-2k/(4+k^2)
x1*x2=-3/(4+k^2)
y1*y2=(kx1+1)*(kx2+1）=(-4k^2+4)/(4+k^2）
根的判别式>0恒成立
OA向量垂直于OB向量,得
y1*y2/x1*x2=...
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联立两方程，消y得
（4+k^2)x^2+2kx-3=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2）
则x1+x2=-2k/(4+k^2)
x1*x2=-3/(4+k^2)
y1*y2=(kx1+1)*(kx2+1）=(-4k^2+4)/(4+k^2）
根的判别式>0恒成立
OA向量垂直于OB向量,得
y1*y2/x1*x2=0
即k=1或-1
|AB|=<(x2-x1)^2+(y2-y1)^2>=
=2*<16k^2+48>/(4+k^2)=2*8/5=16/5
故k=+_1,AB长为16/5
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设A(x1,y1),B(x2,y2)
{4x²+y²=4
{y=kx+1
消y得,(4+k²)x²+2kx-3=0
x1+x2=-2k/(4+k²)
x1x2=-3/(4+k²)
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k(x1+x2)+k²x1x2+1=4(1-k²)/...
全部展开
设A(x1,y1),B(x2,y2)
{4x²+y²=4
{y=kx+1
消y得,(4+k²)x²+2kx-3=0
x1+x2=-2k/(4+k²)
x1x2=-3/(4+k²)
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k(x1+x2)+k²x1x2+1=4(1-k²)/(4+k²)
由题意x1x2+y1y2=0,即-3/(4+k²)+4(1-k²)/(4+k²)=0,得k²=1/4,k=+-1/2
由弦长公式
AB=√(1+k²)|x1-x2|=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=√1040=4√65
收起