直线Y=X-2和抛物线Y平方=2X相交于A、B两点,求证OA垂直OB.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 11:59:56
直线Y=X-2和抛物线Y平方=2X相交于A、B两点,求证OA垂直OB.
直线Y=X-2和抛物线Y平方=2X相交于A、B两点,求证OA垂直OB.
直线Y=X-2和抛物线Y平方=2X相交于A、B两点,求证OA垂直OB.
x=y+2=y²/2
y²-2y-4=0
y1+y2=2
y1y2=-4
x=y+2
则x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4
则y1y2/x1x2=-1
即(y1/x1)(y2/x2)=-1
因为OA和OB斜率是y1/x1和y2/x2
所以斜率相乘是-1
所以垂直
代特殊数字画图
由直线与抛物线联立方程组 可求出交点A,B坐标，
然后计算向量OA与OB的数量积=0 就可以了
法2，设出A,B坐标，由直线与抛物线联立方程组，用“韦达定理”+数量积坐标形式 可证
联立方程得
y=x-2 式①
y²=2x 式②
将式①代入式②
(x-2)²=2x，解得x=3+根号5，或x=3-根号5
∴当x=3+根号5时，y=1+根号5，即点A(3+根号5，1+根号5）
当x=3-根号5时，y=1-根号5，即点B(3-根号5，1-根号5）
∴直线OA的斜率k1=(1+根...
全部展开
联立方程得
y=x-2 式①
y²=2x 式②
将式①代入式②
(x-2)²=2x，解得x=3+根号5，或x=3-根号5
∴当x=3+根号5时，y=1+根号5，即点A(3+根号5，1+根号5）
当x=3-根号5时，y=1-根号5，即点B(3-根号5，1-根号5）
∴直线OA的斜率k1=(1+根号5)/(3+根号5)
直线OB的斜率k2=(1-根号5)/(3-根号5)
k1*k2=[(1+根号5)/(3+根号5)]×[(1-根号5)/(3+根号5)]=-1
∴OA⊥OB
收起
用向量可求联立直线与抛物线方程，解得A（3+√5，1+√5）、B（3-√5，1-√5），即得向量坐标OA=（3+√5，1+√5），OB=（3-√5，1-√5），由向量数量积OA·OB=(3+√5)(3-√5)+(1+√5)(1-√5)=9-5+1-5=0，得OA⊥OB。