在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证：（根号a）+（根号b）+（根号c）

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 00:13:07

在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证：（根号a）+（根号b）+（根号c）在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证

在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证：（根号a）+（根号b）+（根号c）
在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证：（根号a）+（根号b）+（根号c）

在三角形ABC中,已知其面积为1/4,外接圆半径为1,三边长分别为a、b、c,求证：（根号a）+（根号b）+（根号c）
三角形面积=abc/4r r为外接圆半径
由r=1 面积为1/4可得 abc=1
1/a+1/b+1/c-(√a+√b+√c )
=(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c-[√a(abc)+√b(abc)+√c(abc) ]
=ab+bc+ca-a√bc-b√ca-c√ab
=[2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)]/2
=[(ab+bc-2b√ac)+(bc+ca-2c√ab)+(ca+ab-2a√bc)]/2
=[(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2]/2
a,b,c为互不相等的正数,所以上式大于零.即
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c
学过柯西不等式的话,更简单
原式化为ab+bc+ca>√aabc+√abbc+√abcc
由柯西不等式知
(ab+bc+ca）(ac+ab+bc)>(√aabc+√abbc+√abcc)^2
于是原题得证