函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 13:44:44
函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0

函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何
函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,
问的是
则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何

函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何
当x≠0,y=0时得到
f(0)=[f(x)+f(0)]/x
即f(x)=(x-1)*f(0)
令x=1得f(1)=0
令x=-1得f(-1)=-2*f(0)
当x=y≠0时
f(x^2)=f(x)/x
即f(x)=x*f(x^2)
用-x代x,f(-x)=-x*(x^2)=-f(x)
∴对于x≠0,有f(-x)=-f(x)
令上式x=1得f(-1)=-f(1)=0
∵f(-1)=-2*f(0)
∴f(0)=0
而当x≠0时,有f(x)=(x-1)*f(0)
∴x≠0时,f(x)=0
而f(0)=0
∴对于任意x∈R,f(x)=0
f(x)=f(-x)=-f(-x)恒成立.
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
另外,题目条件说f(x)的值域为R,显然是错误的.
所以这个题目有问题.

x=t, y=-1
f（-t）=[f(t)+f(-1)]/(t-1)
x=-t,y=-1
f(t)=[(f(-t)+f(-1)]/(-t-1)
消去f（-t) 得到f（t)
f(t)=-f(-1)/t
所以是奇的

令y=0，代入，
f(0)=（f(x)+f(0))/x
则f(x)=f(0)x+f(0)
显然，f(0）≠0
可知，f(x)为一次函数，为非奇非偶函数

因f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)
当y=x≠0,则:
f(x^2)=f(x)/x
f(x)=xf(x^2)
f(-x)=(-x)f((-x)^2)=-xf(x^2)=-f(x)
所以:函数f(x)为奇函数

可以证明f(x)=0，所以既是奇函数又是偶函数.
证明：令y=0，x≠0，代入f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)，得
f(x)=f(0)(x-1),x≠0.
所以当x≠0，y≠0，x+y≠0时，
f(xy)=f(0)(xy-1),
[f(x)+f(y)]/(x+y)=f(0)(x+y-2)/(x+y).
由f(xy)=[f(x)+f(y)...

全部展开

可以证明f(x)=0，所以既是奇函数又是偶函数.
证明：令y=0，x≠0，代入f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y)，得
f(x)=f(0)(x-1),x≠0.
所以当x≠0，y≠0，x+y≠0时，
f(xy)=f(0)(xy-1),
[f(x)+f(y)]/(x+y)=f(0)(x+y-2)/(x+y).
由f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) ，得
f(0)[xy-1-(x+y-2)/(x+y)]=0恒成立.
只有f(0)=0才能使上式恒成立，
故x=0时，f(x)=f(0)=0；x≠0时，f(x)=f(0)(x-1)=0.
综上所述，f(x)=0，它既是奇函数又是偶函数.

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函数f：R→R,对任意的实数x,y,只要x+y≠0,就有f(xy)=[f(x)+f(y)]/(x+y) 成立,问的是则函数f(x)(x∈R)的奇偶性如何 (1) 若函数f(x)=x ²,满足对任意x,y∈R,都有f(x)+f（y）／2≧f(x+y／2)+a |x-y |,求a的取值范围;(1) (2)求所有的实数a,使得存在函数f:R→R,满足对任意x,y∈R,都有f(x)+f（y）／2≧f(x+y／2)+a |x-y |, 定义在实数集R上的函数F(X)对任意X,Y∈R,有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X)*f(Y)f(0)不等于0.求证F(0)=1 判断下列函数的奇偶性已知定义在r上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x) f(y)=f(x y)打错了，题目是判断下列函数的奇偶性，已知定义在r上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x)+ f(y)=f(x +y) 已知定义在R上的单调函数y=f(x),当x1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y) 求f(0)已知定义在R上的单调函数y=f(x),当x1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)（1） 求f(0);并写出适合条件的函数f(x)的 对任意的实数x、y∈R有f(x+y)=f(x)f(y),当x 题1：已知f(x)是定义在R+上的函数且对任意实数x,y属于R+,恒有f(xy)=f(x)+f(y),对x>1恒有f(x) 对R内任意实数X,Y,都满足F（xy）=F（x）F（y）,求满足上述条件的函数! 对R内任意实数X,Y,都满足F（xy）=F（x）F（y）,求满足上述条件的函数! 已知函数y=f(x) 的定义域为R,当x1 ,且对任意的实数x,y属于 R,等式f(x)f(y)=f(x+y) 成立． f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当x＞0时,f(x)＞1.1.证明f(x)在R上是增函数2.若f(4)=5,求f(2)的值3. 定义在实数集上的函数f(x),对任意x,y属于R有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)=1求y=f(x)是偶函数 高中数学题：设函数f(x)对任意x、y属于实数R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x 在定义域R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意实数x,y由f(x+y)=f(x)*f(y)1 证明：当x 定义域在R上的函数f(x)对任意实数x.y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x>0时,f（x）>1.求证：（1）：f（x）是R上的增函数（2）：函数g（x）=f（x）-1（x∈R)是增函数 已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0.求证f（0）=1 已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0求证f(0)=1 定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x>0时,f(x)>1,求证f(x)在R上是增函数定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且x>0时,f(x)>1,求证1.f(x)在R上是增函数.2.g(x)