求证 偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方【斜对称方阵】a(ij)+a(ji)=0 对任意1≤i,j≤n成立

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 19:05:29
求证偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方【斜对称方阵】a(ij)+a(ji)=0对任意1≤i,j≤n成立求证偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方【斜对称方阵】a(ij)+a(ji)=0对任意1≤i,j

求证 偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方【斜对称方阵】a(ij)+a(ji)=0 对任意1≤i,j≤n成立
求证 偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方
【斜对称方阵】a(ij)+a(ji)=0 对任意1≤i,j≤n成立

求证 偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方【斜对称方阵】a(ij)+a(ji)=0 对任意1≤i,j≤n成立
你这个问题的叙述不好,没有指定矩阵元素的范围.
如果是复数域上的矩阵,那么由于复数一定是完全平方数,这个问题没什么意义.
如果是实数域上的斜对称矩阵,那么它的特征值必定在虚轴上并且成对出现,所以行列式是非负的实数,并是某个实数的平方.
如果是其他的数域(比如有理数域)就要罗嗦一点.只考察非奇异矩阵,奇异矩阵行列式为0是平凡的.如果存在非零的2x2对角块,那么用Gauss消去法做合同变换,把所在的2行2列非对角块消成0,(注：这一步相当于证明了
A B
C D
的行列式等于det(A)det(D-CA^{-1}B)
)
再用一下归纳法即可.
如果对角块都是0,从第1列中选取一个非零元并将其排列到A(2,1)位置,并做相应的列重排,此时第一个对角块非零,化成上面的情况.
如果你要在环上面证明,那么在做合同变换的时候把“分母”都通分掉即可.

斜对称方阵 是什么意思？能给个例子吗

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