有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同)

有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同)
有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不
有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同),或将其中任一堆(如果其小石子数是偶数)的一半小石子移到另一堆上.开始时,第一堆有小石子1989块,第二堆有小石子989块,第三堆有小石子89块.能否使 (1) 某两堆小石子一个不剩?(2) 三堆小石子都一个不剩?

有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不有三堆小石子.每次操作从每堆中取走同样数目的小石子(不同次操作,取走的小石子数目可以不同)
（1) 可以使某两堆小石子一个不剩.只要按如下步骤取即可.(1989,989,89) (1900,900,0) (1900,450,450) (1450,0,0)(2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067,它不能被3整除.而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变,所以不管进行几次操作,三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0,即不可能将三堆石子都取光.评注：本题第二步中,抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征,从而使问题得到顺利解决.
51Math无忧数学网

1989 989 89
1900 900 0
1900 450 450
1450 0 0
所以第一问是可以的
第二问不可以
因为三堆总数是1989+989+ 89，除以3的余数是1
而第一种操作使总数减少3n，第二种操作使总数不变
总是无法改变总数对3的余数，所以最后肯定剩3k+1块...

全部展开

1989 989 89
1900 900 0
1900 450 450
1450 0 0
所以第一问是可以的
第二问不可以
因为三堆总数是1989+989+ 89，除以3的余数是1
而第一种操作使总数减少3n，第二种操作使总数不变
总是无法改变总数对3的余数，所以最后肯定剩3k+1块

收起

首先，第二种操作中总数不变；第一种操作中总数减少三的倍数
因此从始至终，总数关于三的余数始终不变。
原来共有1989+989+89块，除以三余1
因此最后状态也一定是总和除以三余1.
所以（2）三堆石子一个不剩 显然不可能。
对于（1）某两堆一个不剩
可以如下构造：
1989,989,89->1900,900,0->1900,450,450...

全部展开

首先，第二种操作中总数不变；第一种操作中总数减少三的倍数
因此从始至终，总数关于三的余数始终不变。
原来共有1989+989+89块，除以三余1
因此最后状态也一定是总和除以三余1.
所以（2）三堆石子一个不剩 显然不可能。
对于（1）某两堆一个不剩
可以如下构造：
1989,989,89->1900,900,0->1900,450,450->1450,0,0
即，第一次减89，第二次将第二堆移到第三堆，第三次减450

收起

分析：(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取89块，这样剩下的石子数是：1900、900、0，接下来将第二堆移450块到第三堆，石子数变为：1900、450、450，再接下来三堆各取走450块就可以了。
(2) 发现最初三堆的石子数的和是：1989+989+89=3067，它不被3整除。而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论。...

全部展开

分析：(1)很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取89块，这样剩下的石子数是：1900、900、0，接下来将第二堆移450块到第三堆，石子数变为：1900、450、450，再接下来三堆各取走450块就可以了。
(2) 发现最初三堆的石子数的和是：1989+989+89=3067，它不被3整除。而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论。
(1) 可以使某两堆小石子一个不剩。只要按如下步骤取即可。
(1989，989，89)  (1900，900，0)  (1900，450，450)  (1450，0，0)
(2) 最初三堆石子的总数是1989+989+89=3067，它不能被3整除。
而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被3除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被3除所得的余数都不为0，即不可能将三堆石子都取光。
评注：本题第二步中，抓住了三堆石子的总数被3除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决。因而解题时应认真分析，抓住关键。

收起