求满足X(1)+X(2)+…+X(365)=1000,0≤X(n)≤19的365元一次方程的正整数解非负整数解组数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 03:31:39
求满足X(1)+X(2)+…+X(365)=1000,0≤X(n)≤19的365元一次方程的正整数解非负整数解组数
求满足X(1)+X(2)+…+X(365)=1000,0≤X(n)≤19的365元一次方程的正整数解
非负整数解组数
求满足X(1)+X(2)+…+X(365)=1000,0≤X(n)≤19的365元一次方程的正整数解非负整数解组数
推荐使用母函数方法.
易见方程的非负整数解的组数等于(1+x+x^2+...+x^19)^365的1000次项系数.
(1+x+x^2+...+x^19)^365 = (1-x^20)^365/(1-x)^365.
(1-x^20)^365 = 1-C(365,1)x^20+C(365,2)x^40-...+C(365,50)x^1000-...
1/(1-x)^365 = 1+C(365,1)x+C(366,2)x^2+...+C(1364,1000)x^1000+...
所以(1-x^20)^365/(1-x)^365的1000次项系数为:
C(1364,1000)-C(365,1)·C(1344,980)+C(365,2)·C(1324,960)-...+C(365,50).
个人猜测没有进一步简化的形式.
另外,容斥原理也能得到一样的结果.
用软件算了一下,结果为:
5228426058030410000107338676898827324055381312185650944670831426347561\
9279968393351402189762885989142903076253167517306735771925741136658585\
1615988032921973903885189391848437478129768494470317594445751596496530\
6719029346679212928120724372897213165220207572677957549875248872451388\
01812386740977817911917104621971798459824605759886125368592736
≈ 5.228426×10^341
楼主,不知道你数学功底如何,我来先介绍个引理
当Xn为非负整数的时候,∑Xn=m,且m>n>1,他的正整数解个数为C(n-1,m-1)
另外你的题目是正整数解,问题补充又是非负整数解
请确定一个范围,我好计算,谢谢