初等数论怎么解,若P为素数且…………
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 02:11:27
初等数论怎么解,若P为素数且…………
初等数论怎么解,若P为素数且…………
初等数论怎么解,若P为素数且…………
对于0≤i≤（p-1)/2,i(mod p)=-(p-i)(mod p),所以：
(p-1)!=（-1）^((p-1)/2)*(((p-1)/2)!)^2=(((p-1)/2)!)^2,命题等价于：
（p-1)!=-1（mod p)
令a∈A={2,3,4.p-2},(其内每个元素都与p互质)
则B={a,2a,3a,.,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；
事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除,
而a|α-β|∈B,B中的元素不可能被p除尽.于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}.
假设B中被p除余一的数是γa:
一若γ=1,则γa=a,它被p除余a,又因为a∈A不等于1,所以γ=1不成立；
二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,又因为a∈A不等于p-1,所以γ=p-1不成立；
三若γ=a,则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p),故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,
此与a∈A矛盾,故不成立；
有一二三知γ≠a且a,γ∈A.
a不同时,γ也相异；若a1≠a2,a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p）,因,γa1,γa2∈B,而B中的元素关于mod p不同余,可见a1≠a2,则γ1≠γ2.
即A中的每一个a均可找到与其配对的y,γ∈A使ay≡1(mod p),又,a不同时,γ也相异.
因此,A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p),
∴ 2×3×4.(p-2)≡1(mod p) p-1≡-1(mod p)
∴ (p-1)!≡-1≡p-1(mod p)