柯西不等式的几种证法（详细）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 19:39:50
柯西不等式的几种证法（详细）
柯西不等式的几种证法（详细）
柯西不等式的几种证法（详细）
法一：向量分析
设A=（a1,a2,……an）B=（b1,b2,……bn）
∵A·B≤|A||B|
∴a1b1+a2b2+……anbn≤√a1²+a2²+……an²√b1²+b2²+……bn²
∴（Σaibi）²≤Σai²Σbi²
法二：构造二次函数
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A>0
构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C,展开得：
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0,
移项得AC≥B^2,欲证不等式已得证.
我想到的有二次函数构造法，拉格朗日恒等式以及数学归纳法，过程太长了，自己去查阅相关资料吧
一般形式的证明
求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明： 当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2 当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得： f(x...
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一般形式的证明
求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 证明： 当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2 当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得： f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0 故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0， （请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。此步若错，柯西不等式就无法证明了！） 移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。
向量形式的证明
令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos
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