已知a,b都是正数,并且a#b求证:a5+b5>a2b3+a3b2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:23:23
已知a,b都是正数,并且a#b求证:a5+b5>a2b3+a3b2
已知a,b都是正数,并且a#b求证:a5+b5>a2b3+a3b2
已知a,b都是正数,并且a#b求证:a5+b5>a2b3+a3b2
【【差法】】
[(a^5)+(b^5)]-(a²b³+a³b²)
=[(a^5)-a³b²]+[(b^5)-a²b³]
=a³(a²-b²)+b³(b²-a²)
=(a²-b²)(a³-b³)
=(a+b)(a-b)(a-b)(a²+ab+b²)
=(a-b)²(a+b)(a²+ab+b²)
∵a≠b.
∴(a-b)²＞0
又显然,a+b＞0.且a²+ab+b²＞0
∴上面的差大于0.
∴(a^5)+(b^5)＞a²b³+a³b²
a5+b5-a2b3-a3b2
=(a^5-a^2b^3)+(b^5-a^3b^2)
=a^2(a^3-b^3)+b^2(b^3-a^3)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)^2(a+b)[(a+b/2)^2+3/4b^2]
∵a,b都是正数,a≠b
∴(a-b)^2(a+...
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a5+b5-a2b3-a3b2
=(a^5-a^2b^3)+(b^5-a^3b^2)
=a^2(a^3-b^3)+b^2(b^3-a^3)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)^2(a+b)[(a+b/2)^2+3/4b^2]
∵a,b都是正数,a≠b
∴(a-b)^2(a+b)>0
∵(a+b/2)^2+3/4b^2>0
∴=(a-b)^2(a+b)[(a+b/2)^2+3/4b^2]>0
∴a5+b5-a2b3-a3b2>0
∴a5+b5>a2b3+a3b2
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a2(a3-b3)>b2(a3-b3) 推出a2>b2 则a>b
a5+b5-a2b3-a3b2=a²（a³-b³）+b²（b³-a³）
=（a²-b²）（a³-b³）
=(a-b)(a+b)(a-b)(a²+ab+b²)>0
所以a5+b5>a2b3+a3b2
（方法很多，用个较为简单的）
∵a,b>0，不失一般性，可以设a^2>b^2，则根据排序不等式构造如下矩阵：
顺序矩阵：a^2 b^2
a^3 b^3
逆序矩阵：a^2 b^2
b^3 a^3
根据排序不等式，则有：a^5+b^5 ≥...
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（方法很多，用个较为简单的）
∵a,b>0，不失一般性，可以设a^2>b^2，则根据排序不等式构造如下矩阵：
顺序矩阵：a^2 b^2
a^3 b^3
逆序矩阵：a^2 b^2
b^3 a^3
根据排序不等式，则有：a^5+b^5 ≥ a2b3+a3b2
而a≠b,所以上式中等号不能取得，因此：
a^5+b^5 > a2b3+a3b2
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a^5+b^5-(a^2*b^3+a^3*b^2)
=a^3(a^2-b^2)+b^3(b^2-a^2)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)(a+b)
=(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)^2(a+b)[(a+b/2)^2+3b^2/4]
三个因式都为正，故a5+b5>a2b3+a3b2
证明：
∵a^5+b^5-a²b³-a³b²
=a²(a³-b³)-b²(a³-b³)
=(a³-b³)(a²-b²)
∵ a＞0 b＞0 a≠b
∴ 当a＞b时 a³-b³＞...
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证明：
∵a^5+b^5-a²b³-a³b²
=a²(a³-b³)-b²(a³-b³)
=(a³-b³)(a²-b²)
∵ a＞0 b＞0 a≠b
∴ 当a＞b时 a³-b³＞0 a²-b²＞0
(a³-b³)(a²-b²)＞0
当a＜b时 a³-b³＜0 a²-b²＜0
(a³-b³)(a²-b²)＞0
∴a^5+b^5＞a²b³+a³b²
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