如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点.如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点?(x^2+y^2)/a^2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 13:14:30
如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点.如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点?(x^2+y^2)/a^2
如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点.
如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点?
(x^2+y^2)/a^2
如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点.如何证明椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,椭圆对称中心是原点?(x^2+y^2)/a^2
1.当这个椭圆方程为标准方程（即是书上的式子）,那么椭圆的对称中心是原点.
2.如果a是长半轴,b是短半轴.那么椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a,
证明如下：
设椭圆上的点（x,y）,点到原点的距离R
那么R²=x²+y²
如果标准方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b)
那么 x^2/a^2+y^2/b^2>(x^2+y^2)/a^2=R^2/a^2,即1>R^2/a^2.整理得到R
证明：
假设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)
设椭圆上任意一点P(a cosN,b sinN)(0<=N<2π)
(1)
P到原点距离为l=√[（a cosN)^2+(b sinN)^2]
而
（b cosN)^2+(b sinN)^2<（a cosN)^2+(b sinN)^2<（a cosN)^2+(a sinN)^2
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证明：
假设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b)
设椭圆上任意一点P(a cosN,b sinN)(0<=N<2π)
(1)
P到原点距离为l=√[（a cosN)^2+(b sinN)^2]
而
（b cosN)^2+(b sinN)^2<（a cosN)^2+(b sinN)^2<（a cosN)^2+(a sinN)^2
即 b^2<（a cosN)^2+(b sinN)^2
要证椭圆对称中心是原点，
只需证椭圆上任意一点P(a cosN,b sinN)(0<=N<2π)关于原点对称的点Q(-a cosN,-b sinN)也在椭圆上即可。
将Q点坐标带入方程左边，得
（a cosN）^2/a^2+（b sinN）^2/b^2=cosN^2+sinN^2=1=方程右边
所以Q点坐标符合椭圆方程，即Q点在椭圆上，
即椭圆对称中心是原点
收起
应该有一个条件：a>b
(x^2+y^2)/a^2
所以
椭圆上的点到原点的距离大于b,小于a