已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证：f(2x)=2f(x）×g(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 10:11:04
已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证：f(2x)=2f(x）×g(x)
已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证：f(2x)=2f(x）×g(x)
已知奇函数f(x),偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a>0,a≠1),求证：f(2x)=2f(x）×g(x)
f(x)＋g(x)＝a^x
f(－x)＋g(－x)=a^(－x),即有：－f(x)＋g(x)＝a^(－x)
∴g(x)＝1/2[a^x＋a^(－x)],f(x)＝1/2[a^x－a^(－x)]
∴f(2x)＝1/2[a^(2x)＋a^(－2x)]
2f(x)g(x)
＝2×1/2[a^x－a^(－x)]×1/2[a^x＋a^(－x)]
＝1/2{(a^x)^2－[a^(－x)]^2}
＝1/2[a^(2x)＋a^(－2x)]
∴f(2x)＝2f(x)g(x)
f(x)+g(x)=a^x,<1式>
用－x代x得：f(-x)+g(-x)=a^(-x)
f(x)是奇函数，g（x）是偶函数，
f(-x)＝－f(x)，g(-x)=g(x)
－f(x)＋g(x)=a^(-x)，<2式>
结合1、2式可知：f(x)=[a^x-a^(-x)]/2,g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
f(2x)=[a^(2x)-a^(...
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f(x)+g(x)=a^x,<1式>
用－x代x得：f(-x)+g(-x)=a^(-x)
f(x)是奇函数，g（x）是偶函数，
f(-x)＝－f(x)，g(-x)=g(x)
－f(x)＋g(x)=a^(-x)，<2式>
结合1、2式可知：f(x)=[a^x-a^(-x)]/2,g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
f(2x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2
f(x).g(x)=[a^x-a^(-x)]/2*[a^x+a^(-x)]/2=[a^(2x)-a^(-2x)]/4
2f(x).g(x)=[a^(2x)-a^(-2x)]/2
所以
f(2x)=2f(x).g(x)
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