已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 15:05:50
已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
已知函数f(x)=x^2+x*lg(a+2)+lgb满足f(-1)=-2,对于一切实数x,都有f(x)≥2x,求实数a*b的值.
由f(-1)=-2得,1-lg(a+2)+lgb=-2 (1)
因为对一切实数x,都有 f(x)>=2x,
所以,x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb>=0恒成立,即方程x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb=0至多有一个根
因此,△=[lg(a+2)-2]^2-4lgb
由已知，1-lg(a+2)+lgb=-2 (1)
因为对一切实数x，都有 f(x)>=2x，
所以，x^2+x(lg(a+2)-2)+lgb>=0恒成立，
因此，[lg(a+2)-2]^2-4lgb<=0， （2）
令F(x)=f(x)-2x;则有F(x)>=0恒成立。对F(x)求导，得F（x）=2*x+lg(a+2),知F（x）在某点之前递减，某点之后递增，（有最小值）又F（-1）=-2-2*（-1）=0，且F（x）>=0.知（-1，0）为F（x）最小值点，即F'(-1)=-2+lg(a+2)=0,得a=98；f（-1）=-2；得b=0.1；
先代入f(-1)=-2,可以得到a,b的一个关系式。lg(b/a+2)=-3,即为 ：1000b=a+2 ①
再设lgb=t,,那么lg(a+2)=lg(1000b)=3+t②
由于f(x)≥2x,对于任意的实数x都成立，我们看这是一个一元二次方程，可以化简下：
x^2+(3+t)x+t≥2x 为 x^2+(1+t)x+t≥0要使它恒成立，我们知道需要让这个函数的...
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先代入f(-1)=-2,可以得到a,b的一个关系式。lg(b/a+2)=-3,即为 ：1000b=a+2 ①
再设lgb=t,,那么lg(a+2)=lg(1000b)=3+t②
由于f(x)≥2x,对于任意的实数x都成立，我们看这是一个一元二次方程，可以化简下：
x^2+(3+t)x+t≥2x 为 x^2+(1+t)x+t≥0要使它恒成立，我们知道需要让这个函数的Δ≤0,这样这个开口向上的函数才不会与X轴有交点。有
Δ=(1+t)^2-4t≤0 即 (t-1)^2≤0但是这个一关于t的函数只可能与X轴有一个交点，要使它恒小于等于0我们只有让它为0才可能。所以t=1也就是 lgb=1 b=10
a+2=1000*b=10000 a=9998
a*b=99980
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