⊙O是Rt△ABC中以直角边AB为直径的圆,⊙O与斜边AC交于点D过点D作DH⊥AB于点H,又过点D作直线DE交BC于点E使∠HDE=2∠A.求证(1)DE是⊙O的切线(2)OE是Rt△ABC的中位线
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 01:49:54
⊙O是Rt△ABC中以直角边AB为直径的圆,⊙O与斜边AC交于点D过点D作DH⊥AB于点H,又过点D作直线DE交BC于点E使∠HDE=2∠A.求证(1)DE是⊙O的切线(2)OE是Rt△ABC的中位线
⊙O是Rt△ABC中以直角边AB为直径的圆,⊙O与斜边AC交于点D过点D作DH⊥AB于点H,又过点D作直线DE交BC于点E
使∠HDE=2∠A.求证
(1)DE是⊙O的切线
(2)OE是Rt△ABC的中位线
⊙O是Rt△ABC中以直角边AB为直径的圆,⊙O与斜边AC交于点D过点D作DH⊥AB于点H,又过点D作直线DE交BC于点E使∠HDE=2∠A.求证(1)DE是⊙O的切线(2)OE是Rt△ABC的中位线
(1)连接OD,
则∠HOD=2∠A,
已知∠HDE=2∠A,
则∠HOD=∠HDE,
∵HD⊥AB,
∴∠HOD+∠HDO=90°,
∴∠HDE+∠HDO=90°,
即OD⊥DE,
又OD是半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵DE是⊙O的切线,∠ABC=90°,
∴∠OBE=∠ODE=90°,
又OB=OD,OE=OE,
∴Rt△BOE≌Rt△DOE,
∴∠BOE=∠DOE,
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE,
又∠HOD=2∠A,
∴∠BOE=∠A,
∴OE∥AD,
而O是AB的中点,
故OE是△ABC的中位线
∵OB=OD,OE=OE ∴Rt△EBO≌Rt△EDO ∴EB=ED∵AB为直径,∴∠ADB=90°,得∠BDC=90°,
:(1)连接OD, 则∠HOD=2∠A, 已知∠HDE=2∠A, 则∠HOD=∠HDE, ∵HD⊥AB, ∴∠HOD+∠HDO=90°, ∴∠HDE+∠HDO=90°, 即OD⊥DE, 又OD是半径, ∴DE是⊙O的切线; (2)∵DE是⊙O的切线,∠ABC=90°, ∴∠OBE=∠ODE=90°, 又OB=OD,OE=OE, ∴Rt△BOE≌Rt△DOE, ∴∠BOE=∠DOE, ∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE, 又∠HOD=2∠A, ∴∠BOE=∠A, ∴OE∥AD, 而O是AB的中点, 故OE是△ABC的中位线.