直角三角形ABC周长为L,求S△ABC最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:29:30
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直角三角形ABC周长为L,求S△ABC最大值

直角三角形ABC周长为L,求S△ABC最大值
设三角形的三边为a,b,c,其中c为斜边,周长为L
所以有L=a+b+c=a+b+√(a^2+b^2)
因为a+b≥2√(ab),√(a^2+b^2)≥√(2ab)
所以L≥2√(ab)+√(2ab)
把S=ab/2代入可求得
S≤L^2/[4(3+2√2)],当且仅当a=b=L/(2+√2)时取等号
即周长为定值L的直角三角形的面积最大值是L^2/[4(3+2*√2)]
一般地,有下面的一般性结论:“周长一定的直角三角形中,当它为等腰直角三角形时面积最大”利用这一结论也可以求得.

应该是当两条直角边相等时,面积为最大,即:
a=b
a^2+b^2=c^2
a+b+c=L
a=c*sin45°
解方程即可。