从各方面对勾股定理推广

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从各方面对勾股定理推广
从中国古代经典之作《九章算术》可以看得出,中国数学文化起源于人的实际需要,比如丈量土地、测量容积等.它以社会生活与生产实际为研究对象,以解决实际问题为目标,围绕建立算法与提高计算技术而展开,强调在观察、实验基础上进行分析、归纳得出结果,寓理于算,把数学建立在少数不证自明、形象直观的原理上.这种算法化的数学文化传统,深受儒家文化的影响,在历史的发展过程中变化是微弱的、渐变的,然而当前中国数学教育的内容与方法却西化了,在教育形式上运用了西方的数学教育模式,在文化心理上却不自觉地运用着中国传统的数学文化观,导致现实数学教育中出现了许多困惑的问题,比如如何处理培养思维与指导实践的关系,是追求数学的直观、 实用还是它的理性思辨?是学习逻辑演绎还是注重算法和模型化方法教学?这些问题困挠着我们 的教师,影响着我们的数学教育.笔者试从中、西 方“勾股定理”诞生与发展的文化背景,寻找解决问题的办法,探讨如何处理文化传统与数学教育现代化的关系.
1 勾股定理文化背景及其对现代教学的影响
勾股定理是中国几何的根源.中华数学的精髓,诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展,寻根探源,都与勾股定理有着密切关系.勾股形与比率算法相结合,经推演变化已构成各种各样的测量法（如刘徽的“重差术”）.古代数学家常以勾股形代替一般三角形进行研究,从而可以避开角的性质的研讨和不触及平行的烦琐理论,使几何体系简洁明了,问题的解法更加精致.从中国勾股定理的诞生与发展来看,中国古代数学文化传统明显有重视应用、注重理论联系实际、数形结合,以算为主、善于把问题分门别类建立一套套算法体系的特征.然而中国的传统文化注重“经世致用”,思维方式具有“重实际而黜玄想”的务实精神,以及述而不作的研究方法,使得勾股定理从诞生开始一直没有超越直观经验和具体运算,而发展成一套完整的演绎推理,它始终作为一种技艺在传播与应用,走的是为了解决实际问题的模式化发展道路.这种技艺应用的价值取向至今仍影响着我们对数学的认识,影响着我们的数学教学.
在西方,从毕达哥拉斯学派发现了“与有理数不可通约的无理数”开始,勾股定理作为欧氏空间的度量标尺,经过演绎推理,为几何公理体系的完善和发展写下了新的篇章.欧几里得在证明勾股定理同时,结合图形分析,以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论.此后,西方数学家从数的角度将勾股定理推广到求不定方程的正整数解,引出了著名的费马猜想、鲍恩猜想、埃斯柯特猜想；从形的角度又把它推广到平面图形面积关系、立体图形的表面积关系的探讨.如此无穷延伸,在追求严谨的逻辑体系和数学美的过程中推动了现代数学的发展．这种崇尚理性、注重演绎推理的数学传统有着深厚的文化背景,从西方的基督教文化来看,它认为上帝是按数学来构造世界.这一观点足以表明数学教育在西方文化中的宗教和哲学价值取向的理性地位,这对我们今天学习数学,理解现代数学体系结构的形成有着重要的启示作用.
2 现代勾股定理教学设计
中、西方在不同的文化背景下所诞生的勾股定理及其发展道路,给我们的启发是在继承传统文化精髓的同时必须改变传统数学价值观,才能学好西方数学公理化体系,走上数学教育现代化的道路.为此,我们必须设计出符合自身文化传统习惯的课堂教学模式.以勾股定理教学为例,笔者认为可以从以下几个环节进行教学设计.
2.1 从文化传统习惯入手,利用现代化教学手段进行数学实验
请学生自己画出几个直角三角形,利用直尺测量三条边长,并记录数据,计算边长的平方值,分析它们的关系,引导学生通过计算发现勾股定理.测量和计算是我们民族文化传统的特长,是古人发现问题、解决问题常用的思路,也是我们学生很熟悉的学习方法.从几个学生构造的特殊例子出发,利用测量工具进行估算,寻找规律,提出猜想,符合我们的文化传统习惯,符合从特殊到一般的思维规律,容易发挥学生的主体积极性.
利用几何画板软件设计任一直角三角形,自动测量三边边长,验证学生的发现与猜想（图1）.
几何画板软件就其本身设计来说,是一种模式化的算法体系,用它来精确测量三角形的边长,展示直角三角形的任意性,是传统文化精髓与现代文明的新结合.它不仅是一种测量工具的改善,更是一个数学教育现代化的平台.此例所展示的直角三角形的任意性,是传统教学手段无法实现的一个梦想.而几何画板软件可以让学生操作计算机来构造数学对象,在观察动态的图形变化中,直观体验了任意性的含义,深人理解任意性在数学中所起的作用.同时计算机提供快速反馈测量结果,进行验证猜想的能力,使学生有更多的时间从事于更高层次的数学思维活动.这一典型实例足以表明计算机技术可以为文化传统与数学教育现代化的结合提供了好的教学平台.
2.2 比较赵爽证法和欧几里得证法,挖掘传统文化内涵
勾股定理的证明有着丰富无比的文化内涵,可以给学生许多启发,其中赵爽的弦图证法和欧几里得证法最为典型.赵爽弦图证法极富创意,他在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理,可以反映出我国几何研究不仅在应用方面有过辉煌成就,而且在理论方面也曾有一席之地.
赵爽的弦图证法：如图2(见人教版三年制初中《几何》第二册第106页第4题）,其中每个直角三角形称为“朱实”,中间的一个正方形叫“中黄实”,以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”.四个朱实加上一个黄实就等于一个弦实,即 ,化简后得 .
他充分运用了直角三角形易于移补的特点,给出了简洁、直观的证法,其相应的几何思想是图形经移、补、凑、合而面积不变,这种思想后来发展为李冶的“演段术”,不仅反映了我国传统文化中追求直观、实用的倾向,而且其展示的割补原理和数形结合的思想让我们看到我们传统文化的精髓,对我们继承和发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用.我们要安排足够的时间,让学生动手进行拼、凑、补等实践活动,深人理解割补原理,体会中国传统文化中寓理于算的风格.
而欧几里得证法给我们展示的是西方数学文化传统的另一侧面,即严谨的逻辑和理性的推理.具体的欧几里得证法如下：
在直角三角形ABC各边上向外作正方形（图3),结连CD、FB.
因为AC＝AF, AB＝AD,∠FAB＝∠CAD,所以 .
作CL‖ AD.
因为 ,
,
所以 ．
同理可证 ．
所以 ,即 ．
比较赵爽证法和欧几里得证法可知,赵爽证法是建立在一种不证自明、形象直观的原理上,即“出人相补”原理.他的证明过程可以借助实物进行操作,使现实问题数学化,最终达到对数学定理的意义建构.而欧几里得证法则完全脱离实物的支撑,给我们展示的是对数学美和数学理性的追求.它在更高层次上使学生的思维得到锻炼.对这种证法的介绍,可以采用数学“再创造”原理,分析它的探索过程,使证明思路逐渐显露出来,最终完成对公理化演绎体系结构的深刻理解.
综上所述,我们可以从文化传统习惯人手,使用现代教育手段来继承和发扬传统文化,挖掘传统文化内涵,实现数学教育现代化.