证明:若向量组α1,α2,...,αn线性无关,而β1=α1+αn,β2=α1+α2,β3=α2+α3,...βn=αn-1+αn,则向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/08 05:51:21
证明:若向量组α1,α2,...,αn线性无关,而β1=α1+αn,β2=α1+α2,β3=α2+α3,...βn=αn-1+αn,则向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数.
证明:若向量组α1,α2,...,αn线性无关,而β1=α1+αn,β2=α1+α2,β3=α2+α3,...βn=αn-1+αn,
则向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数.
证明:若向量组α1,α2,...,αn线性无关,而β1=α1+αn,β2=α1+α2,β3=α2+α3,...βn=αn-1+αn,则向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数.
设 k1β1+k2β2+……+knβn=0
则向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是 k1,k2,……,kn只能全为0.
k1β1+k2β2+……+knβn=﹙k1+k2﹚α1+﹙k2+k3﹚α2+……+﹙k1+kn﹚αn=0
∵向量组α1,α2,...,αn线性无关
∴ k1,k2,……,kn满足齐次线性方程组
k1+k2=0,k2+k3=0.kn+k1=0
它的系数行列式D﹙按第一列展开﹚=1+﹙-1﹚^﹙n+1﹚
n是偶数时.D=0.齐次线性方程组有非零解.
n是奇数时.D=2≠0.齐次线性方程组只有零解.
∴向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数.
设矩阵A=(α1,α2,...,αn),B=(β1,β2,...,βn),则B=AC,其中矩阵C=
110...00
011...00
............
000...11
100...01
计算C的行列式|C|=1+(-1)^(n+1)
若n为奇数,则C可逆,所以r(B)=R(A)=n,向量组β1,β2,...,βn线性无关。
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设矩阵A=(α1,α2,...,αn),B=(β1,β2,...,βn),则B=AC,其中矩阵C=
110...00
011...00
............
000...11
100...01
计算C的行列式|C|=1+(-1)^(n+1)
若n为奇数,则C可逆,所以r(B)=R(A)=n,向量组β1,β2,...,βn线性无关。
若n为偶数,则R(B)≤R(C)<n,向量组β1,β2,...,βn线性相关。
所以,向量组β1,β2,...,βn线性无关的充要条件是n为奇数
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