设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0＜α＜π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 05:51:51
设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0＜α＜π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0＜α＜π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,将函数f(x)的图像向左平移α个单位,得到函数y=g(x)的图像.若0＜α＜π/2,且g(x)是偶函数,求α的值.
解:化简f(x) 显然.
f(x)=sin2x+cos2x,将f(x) 图象左移动α单位, 将(x+α) 代入式子中,既得 g(x),
g(x)=sin(2x+2α)+cos(2x+2α)
=sin2xcos2α+cos2xsin2α+cos2xcos2α-sin2xsin2α
=sin2x(cos2α-sin2α)+cos2x(sin2α+cos2α)
g(x)是偶函数..
g(x)=g(-x), 代入得,cos2α-sin2α=0,得tg2α=1 又0
f=2cosx(sinx+cosx)-1=2cosxsinx+2(cosx)^2-1=sin(2x)+cos(2x)
f=根号2cos(45-2x)
g=根号2cos(45-2(x+a)) (g=根号2cos2x是偶函数,比较得)
2a=45
a=22.5
∵f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1
=2sinxcosx+2cosxcosx-1
=sin2x+cos2x
=根2（2分之根2sin2x+2分之根2cos2x）
=根2 cos(2x-π/4）
∴g(x)=cos[2(x+α)-π/4]=cos(2x+2α-π/4）
结合余弦函数图像性质得2α-π/4=kπ （k∈Z）又0＜α＜π/2
∴α=π/8