斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A,B,求线段AB中点M的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:32:23
斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A,B,求线段AB中点M的轨迹方程
斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A,B,求线段AB中点M的轨迹方程
斜率为1的直线与抛物线y2=2x交于不同两点A,B,求线段AB中点M的轨迹方程
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点坐标为(x,y)
则y1²=2x1 y2²=2x2 y1+y2=2y
∴y1²-y2²=2(x1-x2)
即：(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2)
∴(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)
即：1=2/(2y)
∴y=1,这就是AB中点的轨迹方程.
设斜率为1的直线方程是
y=x+b 代入抛物线方程得
(x+b)^2=2x
x^2+2bx+b^2-2x=0
x^2+(2b-2)x+b^2=0
∵AB两点不同，则△=b^2-4ac>0
(2b-2)^2-4b^2>0
4b^2-8b+4-4b^2>0
b<1/2
xa+xb=-(2b-2)/2=1-b
ya+yb=...
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设斜率为1的直线方程是
y=x+b 代入抛物线方程得
(x+b)^2=2x
x^2+2bx+b^2-2x=0
x^2+(2b-2)x+b^2=0
∵AB两点不同，则△=b^2-4ac>0
(2b-2)^2-4b^2>0
4b^2-8b+4-4b^2>0
b<1/2
xa+xb=-(2b-2)/2=1-b
ya+yb=xa+b+xb+b=1-b+2b=1+b
∵M是AB的中点
∴
xm=(xa+xb)/2=(1-b)/2 -->2xm=1-b 1
∵b<1/2
∴-b>-1/2
1-b>1/2
2xm>1/2
xm>1/4
ym=(ya+yb)/2=(1+b)/2 -->2ym=1+b 2
1式+2式得
2xm+2ym=2
即点M的轨迹方程是
x+y=1 (x>1/4)
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