设X,Y在R内,在直角坐标平面内,a=（X,Y+2）,b=（X,Y-2),且a的绝对值+b的绝对值=8.①求点M（X,Y)的轨迹C的方程.②过点（0,3）作直线L与曲线C交于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,求直线L的方程.

设X,Y在R内,在直角坐标平面内,a=（X,Y+2）,b=（X,Y-2),且a的绝对值+b的绝对值=8.①求点M（X,Y)的轨迹C的方程.②过点（0,3）作直线L与曲线C交于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,求直线L的方程.
设X,Y在R内,在直角坐标平面内,a=（X,Y+2）,b=（X,Y-2),且a的绝对值+b的绝对值=8.①求点M（X,Y)的轨迹C的方程.②过点（0,3）作直线L与曲线C交于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,求直线L的方程.

设X,Y在R内,在直角坐标平面内,a=（X,Y+2）,b=（X,Y-2),且a的绝对值+b的绝对值=8.①求点M（X,Y)的轨迹C的方程.②过点（0,3）作直线L与曲线C交于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,求直线L的方程.
解析：∵│a│+│b│=8,
即√[x^2+（y+2)^2]+√[x^2+(y-2)^2]=8,
∴就是点M(x,y),到（0,-2）和（0,2）两点的距离和=8,
∴c=2,2a=8,a=4,
b^2=a^2-c^2=16-4=12
∴点M（X,Y)的轨迹C的方程
x^2/12+y^2/16=1
设直线L的斜率为k,则方程为y=kx+3
设交点A(x1,y1),B(x2,y2)
联立得
4x^2+3(kx+3)^2=48
即（4+3k^2)x^2+18kx-21=0
x1+x2=-18k/(4+3k^2),x1x2=-21/(4+3k^2)
y1+y2=k(x1+x2)+6=-18k^2/(4+3K^2)+6
AB=√(1+k^2)│x1-x2│
=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√[(-18k/(4+3k^2)^2+84/(4+3k^2)],
=4/(4+3k^2)*√[(k^2+1)(36k^2+21)]
(x1+x2)/2=-9k/(4+3k^2),
(y1+y2)/2=-9k^2/(4+3k^2)+3,
∴以AB为直径的圆的方程为
[x+9k/(4+3k^2)]^2+[y+9k^2/(4+3k^2)-3]^2
=(AB/2)^2=[2/(4+3k^2)]^2*(k^2+1)(36k^2+21)
圆过坐标原点,得
[9k/(4+3k^2)]^2+[9k^2/(4+3k^2)-3]^2
=[2/(4+3k^2)]^2*(k^2+1)(36k^2+21),
整理得81k^2+144=4(k^2+1)(36k^2+21),
即48k^4+49k^2-20=0,
解得k^2=5/16
∴k=±√5/4
直线L的方程为y=±√5/4x+3

(1)|a|=根号(x^2+(y+2)^2)，|b|=根号(x^2+(y-2)^2)
根号(x^2+(y+2)^2)+根号(x^2+(y-2)^2)=8 ①
左右两边乘以 根号(x^2+(y+2)^2) - 根号(x^2+(y-2)^2)
变成
(x^2+(y+2)^2) - (x^2+(y-2)^2)=8[根号(x^2+(y+2)^2) - 根号(x^2+...

全部展开

(1)|a|=根号(x^2+(y+2)^2)，|b|=根号(x^2+(y-2)^2)
根号(x^2+(y+2)^2)+根号(x^2+(y-2)^2)=8 ①
左右两边乘以 根号(x^2+(y+2)^2) - 根号(x^2+(y-2)^2)
变成
(x^2+(y+2)^2) - (x^2+(y-2)^2)=8[根号(x^2+(y+2)^2) - 根号(x^2+(y-2)^2)]
即是
根号(x^2+(y+2)^2) - 根号(x^2+(y-2)^2)=y/8 ②
①+②得
2*根号(x^2+(y+2)^2)=8+y
化简得,
x^2/12 + y^2/16=1 (这个就是M(x,y)的轨迹C的方程.
(2)
设直线L的方程为 x=my+3
设x=my+3与x^2/12 + y^2/16=1 的解为x1，x2 并设A(x1,y1) B(x2,y2)
AB中点即是圆心,又因为该圆过原点，所以该圆的方程为
(x-(x1+x2)/2)^2+(y-(y1+y2)^2=(x1+x2)^2+(y1+y2)^2
化简,即是
x^2-(x1+x2)x+y^2-(y1+y2)y=0
当x=x1,y=y1时
(x1)^2-(x1+x2)*x1+(y1)^2-(y1+y2)^y1=0
所以 x1x2+y1y2=0
把x=my+3代入x^2/12 + y^2/16=1 得
(4m^2+3)y^2+24my-12=0
所以
y1y2=-12/(4m^2+3) y1+y2=-24m/(4m^2+3)
x1x2=(my1+3)(my2+3)=m^2y1y2+3m(y1+y2)+9
所以
-12m^2/(4m^2+3) -72m^2/(4m^2+3)+9 -12/(4m^2+3)=0 左右乘以-4m^2-3
12m^2+72m^2-9(4m^2+3)+12=0 化简得
48m^2-15=0 m=±根号15 /6
所以直线L的方程为
x=(±根号15 /6) y+3
ok 搞定了。

收起

SGS FSRVW5R4