托勒密定理用向量怎么证?请回应!

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 01:31:18

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托勒密定理用向量怎么证?请回应!
用初中相似三角形知识很容易证,没有必要用到向量.向量一般是证垂直之类问题.
有个挺有用的公式：(AB,CD)+(BC,AD)+(CA,BD)=0
（这里AB CD之类都是向量,(AB,CD)是AB CD点乘或者说是内积）
证明比较简单,用些什么AC=AB+BC之类的东西捣一捣就完了.
用这个来证平面的托米勒定理就不难了,由于(AB,CD)=|AB||CD|cos(AB,CD)
用四点共圆的条件就可以把那些cos去掉（注意符号）,就得到了题目的结论.
广义托勒密定理:凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.
在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因为BE+ED>=BD
所以命题得证
当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.

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