初等数论题目求所有正整数 n,使 7 ^ n | 9 ^ n - 1(n ^ m = n 的 m 次方).
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/09 21:52:42
初等数论题目求所有正整数 n,使 7 ^ n | 9 ^ n - 1(n ^ m = n 的 m 次方).
初等数论题目
求所有正整数 n,使 7 ^ n | 9 ^ n - 1(n ^ m = n 的 m 次方).
初等数论题目求所有正整数 n,使 7 ^ n | 9 ^ n - 1(n ^ m = n 的 m 次方).
不存在
如果存在的话,原题等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1).右边的两个因子只有公因数2,所以如果式子成立必有7^n|3^n+1或3^n-1.一个较小的数整除一个较大的数显然不可能
不存在这样的正整数
n个连续整数都是正数时,由组合数必为整数,而从m(m≥n)个元素中取n个元素的组合数=m*(m-1)..(m-n 1)/n!,即证明n个连续整数乘积一定被n!
不存在正整数 n, 7 ^ n | 9 ^ n - 1等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1)。一定有 7 ^ n>3^n+1>3^n-1,所以7 ^ n不整除3^n+1且7 ^ n不整除3^n-1。那么,一定有7 | 3^n+1,7 | 3^n-1,(此时需要n≥2,n=1代入算就知不成立)。所以7 | 2x3^n,所以7 | 3^n,矛盾,所以不存在正整数 n使 7 ^ n | 9 ^ n ...
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不存在正整数 n, 7 ^ n | 9 ^ n - 1等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1)。一定有 7 ^ n>3^n+1>3^n-1,所以7 ^ n不整除3^n+1且7 ^ n不整除3^n-1。那么,一定有7 | 3^n+1,7 | 3^n-1,(此时需要n≥2,n=1代入算就知不成立)。所以7 | 2x3^n,所以7 | 3^n,矛盾,所以不存在正整数 n使 7 ^ n | 9 ^ n - 1成立。
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