数学二次函数的基本性质有哪些
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 03:24:22
数学二次函数的基本性质有哪些
数学二次函数的基本性质有哪些
数学二次函数的基本性质有哪些
y=ax²
开口方向：a＞0向上,a＜0向下
顶点坐标：(0,0)
对称轴：Y轴
函数变化：
（1）当a＞0
x＞0时,y随x增大而增大；
x＜0时,y随x增大而减小.
（2）当a＜0
x＞0时,y随x增大而减小；
x＜0时,y随x增大而增大.
最大(小)值：
（1）当a＞0,当x＝0时,y最小＝0.
（2）当a＜0,当x＝0时,y最大＝0
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二...
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二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（X＝－b加减 根号内B2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除2a
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
另：二次函数的顶点坐标公式是:（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）
学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），
顶点可用配方法来确定：（y=ax2+bx+c=a(x+ b/2a )^2+ (4ac-b^2)/4a ）；
图象的平移归结为顶点的平移（y=ax^2→y=a(x-h)2+k）；
此外
函数的对称性（对称轴x=-b/2a)，
极值（(4ac-b^2)/4a），
判别式（△=b^2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。
△〉0时，有两个根（解，零点，图像与X轴相交）
△=0时，有1个根（解，零点，图像与X轴相切）
△〈0时，无根（解，零点，图像与X轴相离）
据此还可解关于x的一元二次不等式。
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