已知a、b是两个非零向量,证明：b与a+λb（λ∈R）垂直时,|a+λb|取到最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 22:34:01
已知a、b是两个非零向量,证明：b与a+λb（λ∈R）垂直时,|a+λb|取到最小值
已知a、b是两个非零向量,证明：b与a+λb（λ∈R）垂直时,|a+λb|取到最小值
已知a、b是两个非零向量,证明：b与a+λb（λ∈R）垂直时,|a+λb|取到最小值
证明：可设a=(x1,y1),b=(x2,y2).则有a+tb=(x1+tx2,y1+ty2).且b(a+tb)=(x1x2+y1y2)+t(x2^2+y2^2).易知,|a+tb|^2=(x2^2+y2^2)t^2+2(x1x2+y1y2)t+(x1^2+y1^2).显然,当t=-(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2)时,|a+tb|有最大值.而此时,（x1x2+y1y2)+(x2^2+y2^2)t=0.b(a+tb)=0b与a+tb垂直.
证明：∵b与a+λb（λ∈R）垂直
∴b*(a+λb)=0,即a*b+λb^2=0①
|a+λb|=√a^2+2λa*b+λ^2b^2
1.若λ=0，则原始取到最小值a
2.若λ≠0，将①带入，也使原式取到最小值a
证毕
最快的方法
aa表示a.a，bb表示b.b， ab表示a.b
|a+λb|^2=aa+2λab+λ^2 bb
用一元二次函数的知识，这个关于λ的函数的最小值(因为bb>0) 在 λ=-B/2A=-2ab/2bb=-ab/bb时取得，所以λbb+ab=0
即b.(λb+a)=0
所以b与λb+a垂直
证明：可设a=(x1,y1),b=(x2,y2).则有a+tb=(x1+tx2,y1+ty2).且b(a+tb)=(x1x2+y1y2)+t(x2^2+y2^2).易知，|a+tb|^2=(x2^2+y2^2)t^2+2(x1x2+y1y2)t+(x1^2+y1^2).显然，当t=-(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2)时，|a+tb|有最大值。而此时，（x1x2+y1y2)+(x2^2+y2^2)t=0.<===>b(a+tb)=0<===>b与a+tb垂直。
请楼主采纳