∫(0,π)1/(2+cosx)dx

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/07/24 21:41:57
∫(0,π)1/(2+cosx)dx∫(0,π)1/(2+cosx)dx∫(0,π)1/(2+cosx)dx令u=tan(x/2)=>dx=2du/(1+u²),cosx=(1-u²

∫(0,π)1/(2+cosx)dx
∫(0,π)1/(2+cosx)dx

∫(0,π)1/(2+cosx)dx
令u=tan(x/2) => dx=2du/(1+u²),cosx=(1-u²)/(1+u²)
当x=0,u=0 // 当x=π,u=+∞
原式= ∫[0,+∞] 1/[2+(1-u²)/(1+u²)] * 2/(1+u²) du
= ∫[0,+∞] (1+u²)/(u²+3) * 2/(1+u²) du
= 2∫[0,+∞] 1/(u²+3) du
= (2/√3)arctan(u/√3)[0,+∞]
= (2/√3)lim(u->+∞) arctan(u/√3) - 0
= (2/√3)(π/2)
= π/√3