已知直线L平行于平面a,求证直线上各点到平面的距离相等‘

已知直线L平行于平面a,求证直线上各点到平面的距离相等‘
已知直线L平行于平面a,求证直线上各点到平面的距离相等‘

已知直线L平行于平面a,求证直线上各点到平面的距离相等‘
已知：直线l在平面α外,且l //α P,Q在直线l上,且PM⊥α于M,QN⊥α于N,求证：PM=QN
证明：连接MN
∵PM⊥α于M,QN⊥α于N
∴PM // QN 即PM,QN在同一平面PMNQ内
又∵PQ//α 且PQ⊥α ∴PQ//MN
∴四边形PMNQ是矩形
∴PM=QN
即证!

在直线L上任取两点A,B
作AA'垂直平面a于A',作BB'垂直平面a于B',
连接A'B'
则:AA'垂直A'B',BB'垂直A'B'
所以AA'平行BB'
而:AB平行平面a
所以:AB平行A'B'
所以:AA'B'B为平行四边形
AA'=BB'
即:A,B到平面a的距离相等
考虑到,A,B是直线L任意两点

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在直线L上任取两点A,B
作AA'垂直平面a于A',作BB'垂直平面a于B',
连接A'B'
则:AA'垂直A'B',BB'垂直A'B'
所以AA'平行BB'
而:AB平行平面a
所以:AB平行A'B'
所以:AA'B'B为平行四边形
AA'=BB'
即:A,B到平面a的距离相等
考虑到,A,B是直线L任意两点
所以:直线上各点到平面的距离相等

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反证法

如图 证明 对了补充一下 直线上某点到平面的距离 即 直线上过某点作垂直于平面的线段 改线段长度即直线上某点到平面的距离 通过证明AD=BC 可以说明直线上的A点和B点到平面距离相等 把此结论一般化的话 即直线上任意点到平面距离相等

在直线上任取两点 A ,B, 分别过A,B作平面的垂线 ，记垂足分别为C,D 则 直线AC//BD,可以确定一个平面 ，该平面与已知平面的交线为 CD, 根据线面平行的性质定理，得 AB//CD 从而ABDC为平行四边形 故 AC=BD 即 直线上各点到平面的距离相等 应该看得懂吧 给分吧 呵呵
刚才看到上面有人回复里 是如下过程
则:AA'垂直A'...

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在直线上任取两点 A ,B, 分别过A,B作平面的垂线 ，记垂足分别为C,D 则 直线AC//BD,可以确定一个平面 ，该平面与已知平面的交线为 CD, 根据线面平行的性质定理，得 AB//CD 从而ABDC为平行四边形 故 AC=BD 即 直线上各点到平面的距离相等 应该看得懂吧 给分吧 呵呵
刚才看到上面有人回复里 是如下过程
则:AA'垂直A'B',BB'垂直A'B'
所以AA'平行BB'
而:AB平行平面a
所以:AB平行A'B'
上述过程有典型错误 不要误人

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证明如下：
任取L上的两个点A和B，分别过A,B作AA‘⊥面a于A’，作BB'⊥面a于B'，连结A‘B’，
则AA'⊥A'B'，BB'⊥A'B'.............................【直线和平面垂直推出它和面上的所有直线垂直】
且AA'∥BB'................................................【若两条直线都垂...

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证明如下：
任取L上的两个点A和B，分别过A,B作AA‘⊥面a于A’，作BB'⊥面a于B'，连结A‘B’，
则AA'⊥A'B'，BB'⊥A'B'.............................【直线和平面垂直推出它和面上的所有直线垂直】
且AA'∥BB'................................................【若两条直线都垂直于同一平面，那么两条直线平行】
∴A,A‘,B,B’四点共面.................................【两条平行直线可以确定一个平面】
∵L∥面a，L∈面AA‘B’B
∴L∥A‘B’...................................................【直线和平面平行的性质定理】
∴四边形AA'B‘B是矩形
故AA'=BB'即点A到面a的距离等于点B到面a的距离
又因为A和B是任意取的，所以直线上各点到平面的距离相等

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【反证法】假设直线上各点到平面的距离不相等
即存在直线L上两点A、B到平面a距离不等，分别过点A、B作AA'⊥平面a，BB'⊥平面a，则AA'≠BB'，但AA'//BB'
因为直线L//平面a，所以AB//A'B'
所以四边形ABA'B'是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
则AA'=BB'（平行四边形对边相等）（与假设的AA'≠BB'矛盾）

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【反证法】假设直线上各点到平面的距离不相等
即存在直线L上两点A、B到平面a距离不等，分别过点A、B作AA'⊥平面a，BB'⊥平面a，则AA'≠BB'，但AA'//BB'
因为直线L//平面a，所以AB//A'B'
所以四边形ABA'B'是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
则AA'=BB'（平行四边形对边相等）（与假设的AA'≠BB'矛盾）
所以假设不成立
故直线上各点到平面的距离相等

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