已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的图像向右平移1个单位后得到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)f(4)+………f(2011)等于
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 09:42:04
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的图像向右平移1个单位后得到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)f(4)+………f(2011)等于
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的图像向右平移1个单位后得到一个偶函数的图象,
则 f(1)+f(2)+f(3)f(4)+………f(2011)等于
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若将f(x)的图像向右平移1个单位后得到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)f(4)+………f(2011)等于
∵f（x）是R上的偶函数,
∴图象关于y轴对称,即该函数有对称轴x=0,f（x）=f（-x） ①
又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,
∴函数f（x）在右移之前有对称中心（-1,0）,即f（-1）=0,且f（-1-x）=-f（-1+x） ②
∴由①②得函数f（x）存在周期T=4,又f（2）=-1,f（-1）=0,
利用条件可以推得：f（-1）=f（1）=0,f（2）=-1=-f（0）,f（3）=f（4-1）=0,
f（-3）=f（3）=0,f（4）=f（0）=1,
所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0,
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（1）+f（2）+f（3）=-1．
故选A
由题意可知，函数为周期为4的奇函数，f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,f(4)=0……由f(1)+……+f(4)=0可知f(1)+……+f（2011）=-1
因为f(x)为奇函数，则f(0)=0
f(-x)=-f(x)
即f(x)=-f(-x)
用-x-1替换x
得f(-x-1)=-f(x+1) (1)
由题意f(x-1)是偶函数
则f(-x-1)=f(x-1) (2)
由(1)(2)得：f(x-1)+f(x+1)=0
所以x=2010时f(200...
全部展开
因为f(x)为奇函数，则f(0)=0
f(-x)=-f(x)
即f(x)=-f(-x)
用-x-1替换x
得f(-x-1)=-f(x+1) (1)
由题意f(x-1)是偶函数
则f(-x-1)=f(x-1) (2)
由(1)(2)得：f(x-1)+f(x+1)=0
所以x=2010时f(2009)+f(2011)=0
依次推得f(2008)+f(2010)=0
.......
f(4)+f(6)=0
f(3)+f(1)=0
f(2)+f(0)=0
所以f(1)+f(2)+f(3)f(4)+………f(2011)等于=f(2)=-f(0)=0
收起
由题意f(x-1)是偶函数
f(x-1)=f(-x-1)
又因为f(x)为奇函数
f(-x-1)=-f(x+1)
所以：f(x-1)=-f(x+1)
即f(x-1)+f(x+1)=0
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+………f(2011)=f(1)+[f(2)+f(3)+f(4)+………f(2011)]=f(1)=1