开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上）,根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）求角EAF大小（2）欲使三
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 14:21:40
开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上）,根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）求角EAF大小（2）欲使三
开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF
（点E、F分别在BC、CD上）,根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）求角EAF大小
（2）欲使三角形EAF面积最小,试确定E、F的位置
开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发,拟在该地段的一角建设一个景观,需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上）,根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）求角EAF大小（2）欲使三
（1）设CE=x,CF=y（0＜x≤1,0＜y≤1）,∠BAE=α,∠DAF=β
则tanα=（1-x）/1=（1-x),tanβ=(1-y)/1=(1-y)
由已知得：S△ECF=x+y+ √(x²+y²) =2,
即2（x+y）-xy=2 -xy=2-2(x+y)
∴tan（α+β）=(tanα+tanβ) /(1-tanαtanβ) =[2-(x+y)]/( x+y-xy) =[2-(x+y0]/[(x+y)+2-2(x+y)]=1
∵0＜α+β＜π 2 ,
∴α+β=π /4
∴∠EAF=90°-45°=45°
（2）由（1）知,S△EAF=1 /2 AE×AF×sin∠EAF
= √2/4 AE×AF
=√2/4 ×(1/ cosαcosβ)
=√2/4 ×(1 /cosαcos(π/ 4 -α)
=1/( sin2α+2cos²α)
=1/ (√2sin(2α+π/4 )+1 )
∵0＜α＜π/4 ,
∴2α+π/4 =π/2 ,即α=π/ 8 时,△EAF的面积最小,最小面积为 √2 -1．
∵tanπ/4 =(2tanπ/8)/( 1-tan²π/8) ,
∴tanπ/8 =√ 2 -1,故此时BE=DF= √2 -1．
所以,当BE=DF=√ 2 -1时,△EAF的面积最小．