关于双曲线的高中数学一题过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l 的垂线,交l 于A,交另一条渐近线于点B,求证：线段AB被双曲线的左准线平分.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 15:40:23
关于双曲线的高中数学一题过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l 的垂线,交l 于A,交另一条渐近线于点B,求证：线段AB被双曲线的左准线平分.
关于双曲线的高中数学一题
过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l 的垂线,交l 于A,交另一条渐近线于点B,求证：线段AB被双曲线的左准线平分.
关于双曲线的高中数学一题过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l 的垂线,交l 于A,交另一条渐近线于点B,求证：线段AB被双曲线的左准线平分.
对于该双曲线来说,a=2√2,b=4,c=2√6,假设垂线垂直右渐近线y=√2x,因此垂线的方程为y=-(x-2√6)/√2,它与y=√2x交于A,与y=-√2x交于B,所以A点横坐标是2√6/3,B点横坐标是-2√6,所以AB中点M的横坐标是-2√6/3,左准线方程x=-a^2/c=-8/2√6=-2√6/3,因此M在左准线上,所以线段AB被双曲线的左准线平分.同理当垂线垂直做准线时,该结论也成立,由对称易证得.
做完了这道题,我们不免要思考一下,是否对于任意双曲线都有这样的结论.因此我们可以转为一般式：x^2/a^2-y^2/b^2=1,从中再联立y=±bx/a和垂线y=-a(x-c)/b,仍然是交右准线于A,左准线于B,则可求得A的横坐标为a^2/c,B点横坐标为c*a^2/(a^2-b^2),因此中点M的横坐标是a^4/[c*(a^2-b^2)],欲使上述结论仍然成立,则a^2/(a^2-b^2)=-1,即2a^2=b^2,因此我们可以说,对任意焦点在x轴,2a^2=b^2,或是离心率为√3的双曲线都存在着这个结论.证毕.
善于对问题进行归纳小结,做一题如做十题；不掌握其中内涵,拿起题目就做了,做十题如做一题,事倍功半.因此题目就要做精,而非做多.