Come!Help me如图,将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为an．求（Ⅰ）a1,a2,a3,a4；（Ⅱ）an与an+1（n≥2）的关系式；（Ⅲ）数列{an}的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/07 21:46:26
Come!Help me如图,将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为an．求（Ⅰ）a1,a2,a3,a4；（Ⅱ）an与an+1（n≥2）的关系式；（Ⅲ）数列{an}的
Come!Help me
如图,将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为an．求
（Ⅰ）a1,a2,a3,a4；
（Ⅱ）an与an+1（n≥2）的关系式；
（Ⅲ）数列{an}的通项公式an,并证明an≥2n（n∈N*）．
Come!Help me如图,将圆分成n个区域,用3种不同颜色给每一个区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为an．求（Ⅰ）a1,a2,a3,a4；（Ⅱ）an与an+1（n≥2）的关系式；（Ⅲ）数列{an}的
（Ⅰ）
当n=1时,不同的染色方法种数a1=3,
当n=2时,不同的染色方法种数a2=6,
当n=3时,不同的染色方法种数a3=6,
当n=4时,分扇形区域1,3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数a4=3×1×2×2+3×2×1×1=18．
（Ⅱ）依次对扇形区域1,2,3,…n,n+1染色,不同的染色方法种数为3×2n,其中扇形区域1与n+1不同色的有an+1种,扇形区域1与n+1同色的有an种
∴an+an+1=3×2n（n≥2）
（Ⅲ）
∵an+an+1=3×2n（n≥2）
∴a2+a3=3×22
a3+a4=3×23
…
an-1+an=3×2n-1将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）k（k=2,3…n-1）,再相加,得
a2+（-1）n-1an=3×22-3×23+…+3×（-1）k×2n-1=3×
22[1-(-2)n-1]
1-(-2)
∴an=2n+2•（-1）n从而an=3 n=1
2n+2•(-1)n n≥2．
（Ⅲ）
证明：
当n=1时,a1=3＞2×1
当n=2时,a2=6＞2×2,
当n≥3时,
an=2n+2•（-1）n=（1+1）n+2•（-1）n
=1+n+C2n+C3n+…+Cn-2n+n+1+2•（-1）n
≥2n+2+2（-1）n≥2n,
故an≥2n（n∈N*）．