三角形ABC中,角ACB=90°,CB垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h.求证：(1)1/a²+1/b²=1/h²（2）a+b＜c+h（3）以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 14:32:15
三角形ABC中,角ACB=90°,CB垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h.求证：(1)1/a²+1/b²=1/h²（2）a+b＜c+h（3）以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形.
三角形ABC中,角ACB=90°,CB垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h.
求证：(1)1/a²+1/b²=1/h²（2）a+b＜c+h（3）以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形.
三角形ABC中,角ACB=90°,CB垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h.求证：(1)1/a²+1/b²=1/h²（2）a+b＜c+h（3）以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形.
题目是这样的三角形ABC中,角ACB=90°,CD【不是CB】垂直于AB于D,设AC=b,BC=aAB=c,CD=h.
【*代表乘以号,{}是对于步骤的说明,x^2表示x的平方】
求证：
(1)1/a²+1/b²=1/h²
1/a²+1/b²=(a^2 +b^2)/(a^2 *b^2) =(c^2)/(a^2 *b^2)
{勾股定理a^2 +b^2 =c^2 }
所以要证明 1/a²+1/b²=1/h²
就是要证明 (c^2)/(a^2 *b^2) =1/h²
即要证明c^2 *h² =a^2 *b^2 即要证明 c*h =a*b A】
而根据三角形面积相等原理 三角形ABC面积 =1/2 *a*b =1/2 *c *h
则 c*h=a*b
则A】式得证,即原结论1/a²+1/b²=1/h²得证
（2）a+b＜c+h { 比较两数大小一般用减法}
由 c*h=a*b得 h=ab/c ;
(a+b)-(c+h) =（a+b）-(c+ab/c) = (a-c) + b*(1- a/c)
= (a-c) + b/c *(c-a)
= (a-c) - b/c *(a-c)
= (1- b/c) *(a-c)
很明显 b
1/a²+1/b²=(a²+b²)/a²b²=c²/a²b²
三角形面积=0.5ab=0.5ch ab=ch h=ab/c 所以1/a²+1/b²=1/h²
（2）a+b＜c+h
同时平方 a²+b²+2ab＜c²+h&su...
全部展开
1/a²+1/b²=(a²+b²)/a²b²=c²/a²b²
三角形面积=0.5ab=0.5ch ab=ch h=ab/c 所以1/a²+1/b²=1/h²
（2）a+b＜c+h
同时平方 a²+b²+2ab＜c²+h²+2ch
a²+b²=c² ab=ch 显然成立
（3）（a+b)²+h²= a²+b²+2ab+h²
（c+h)²=c²+h²+2ch a²+b²=c² ab=ch
所以（a+b)²+h²=（c+h)²
收起
（1）1/a²+1/b²=1/h²变形为a²+b²/a²b²=1/h²
证a²+b²/a²b²=1/h²
因为(a²+b²)h²=c²h²=(ch)²=（ab）²=a²b² （（等积法））
所以1/a²+1/b²=1/h²
证明：（1）∵△ABC的面积＝1/2ab＝1/2ch，∴ab＝ch
∴1/a²＋1/b²
＝(a²＋b²)/a²b²
＝c²/a²b²
＝c²/c²h²
＝1/h²
（2）由（1）知ab＝ch，∴2ab＝2ch
又...
全部展开
证明：（1）∵△ABC的面积＝1/2ab＝1/2ch，∴ab＝ch
∴1/a²＋1/b²
＝(a²＋b²)/a²b²
＝c²/a²b²
＝c²/c²h²
＝1/h²
（2）由（1）知ab＝ch，∴2ab＝2ch
又a²＋b²＝c²，∴a²＋b²＜c²＋h²
∴a²＋b²＋2ab＜c²＋h²＋2ch
即(a＋b)²＜(c＋h)²
∵a、b、c、h均为正数，∴a＋b＜c＋h
（3）（a+b)²+h²＝a²+b²+2ab+h²
（c+h)²＝c²+h²+2ch
∵a²+b²＝c²，ab＝ch
所以（a+b)²+h²＝(c+h)²
故以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形
收起
最直接的办法：得到c=根号（a平方+b平方），h=ab/c,再用a、b表示出来h。带入1、2、3，都能解出来！