几道高一数学题(函数、数列) 好的分会追加80 只求您真诚的帮助要开学了 我作业还没做完~(>_

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要开学了 我作业还没做完~(>_

几道高一数学题(函数、数列) 好的分会追加80 只求您真诚的帮助要开学了 我作业还没做完~(>_
先说明一下记号：
1. 根号√x,在解答中记为Sqrt(x)
2. 不等号,在解答中记为!=
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1、设函数f(x)=x^2+ax+b(a、b∈k).集合M={x|x=f(x) x∈R},N={x|x=f[f(x)]},x∈R.
（1）求证：M∩N=M.（2）若M={1,3},求M∪N.
注：M ∩ N = M,等价于M包含于N.
(1) 证明：
任取m∈M,则m = f(m).于是有f[f(m)] = f(m) = m,所以m∈N.这说明 M 是 N 的子集,或者说M包含于N.故M ∩ N = M.
(2) M = {1, 3},则 a = -3, b = 3. f(x) = x^2 - 3x + 3
f[f(x)] - x = (x^2 - 3x + 3)^2 - 3(x^2 - 3x + 3) + 3 - x = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3
由(1)问得知,1和3都是f[f(x)] - x的根.将x - 1和x - 3做因式分解式,得到
f[f(x)] - x = (x - 1)(x - 3)(x^2 - 2x + 1) = (x - 3)(x - 1)^3
故N = {1, 3}.
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2、已知函数f(x)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y),且当x＞1时,f(x)＜1,又f(2)=1/4.
（1）求证：f(x)＞0,（2）求证：f(x^-1)=[f(x)]^-1,（3）求证：f(x)在R+上为单调递减函数.(这题我有点没法)
注：这道题的原型是f(x) = 1/(x^2).如果能看出来就可以直接做了.这里给出不知道f(x)的解答.
(1) 证明：
任取m > 0,令x = y = Sqrt(m), 立得f(m) = f(x)f(x) >= 0.
现在证明不存在f(x) = 0的情况.
假设存在某数a > 0,使得f(a) = 0. 令x = a, y = 2/a,则有f(2) = f(a)f(2/a) = 0. 这和已知f(2) = 1/4矛盾.故假设不成立,不存在使得f(a) = 0的a值.
故有f(x) > 0.
(2) 证明：
令x = 2, y = 1,有f(2) = f(2)f(1),得到f(1) = 1.
令y = x^(-1) = 1/x,有f(1) = f(x)f(1/x),得到f(x)f(x^-1) = 1. 因f(x) > 0,有
f(x^-1) = [f(x)]^-1
(3) 证明：
任取x1, x2使得0 < x1 < x2.令x = x1, y = x2 / x1. 根据取法,y > 1. 有f[x1 * (x2/x1)] = f(x2) = f(x1)f(x2/x1). 即f(x2)/f(x1) = f(x2/x1)
依题意,当x＞1时,f(x)＜1.故f(x2)/f(x1) < 1.因f(x1) > 0,有
f(x1) > f(x2)
所以f(x)在R+上为单调递减函数.
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3. 已知数列{a(n)}中,a(1)=1,且a(2k)=a(2k-1)+(-1)^k,a(2k+1)=a(2k)+3^k,其中k=1,2,3…….
（1）求a(3),a(5).（2）求{a(n)}的通项公式. （第一问不说了 第二问我实在求不来了 本想用数学归纳法做 结果写了20项都没想出来通项）
注：不要轻易用数学归纳法,会死人的.
(1) a(1) = 1
a(2) = 0
a(3) = 3
a(4) = 4
a(5) = 13
(2) a(2k) = a(2k-1) + (-1)^k . (1)
a(2k+1) = a(2k) + 3^k . (2)
将(1)式的a(2k-1)用(2)式代入,得到
a(2k) = a(2k-2) + (-1)^k + 3^(k-1) . (3)
利用迭代法得到：
a(2k) = a(2) + [(-1)^2 + ... + (-1)^k] + [3^1 + ... + 3^(k-1)]
上式包含2个等比数列.计算得到偶数项的通项公式：
a(2k) = [(-1)^k + 3^k]/2 - 1 . (4)
检验a(2)符合上式,故k = 1, 2, 3...
将(2)式的a(2k)用(1)式代入,得到
a(2k+1) = a(2k-1) + (-1)^k + 3^k . (5)
利用迭代法得到：
a(2k+1) = a(1) + [(-1)^2 + ... + (-1)^k] + [3^2 + ... + 3^k]
上式也包含2个等比数列.计算得到奇数项的通项公式：
a(2k+1) = [(-1)^k + 3^(k+1)]/2 - 1 . (6)
检验a(1)符合上式,故k = 0, 1, 2...
结合(4)与(6)得到总的通项公式：
a(x) = {(-1)^[x/2] + 3^[(x+1)/2]}/2 - 1 . (7)
其中[x/2]和[(x+1)/2]是取整函数,即只取[]内数字的整数部分.
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4、已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对任意的a、b∈R,满足f(a,b)=a×f(b)+b×f(a),f(2)=2,a(n)=f(2^n)/n(n∈N+ 正整数,b(n)=f(2^n)/2^n(n∈N+).考查下列结论：①f(0)=f(1) ②f(x)=f(-x) ③数列{a(n)}为等比数列, ④{b(n)}为等差数列.其中正确的是__________ （这题关键是我不知道f(a,b)究竟是个什么东西 表示什么 如果实在不知道 觉得没法做的话 就无视吧）
注：我研究了一下题目,f(a,b)可能是f(a + b).印刷问题,逗号应该是加号.
f(a + b) = a f(b) + b f(a)
① 令a = 0, b = 1,有
f(1) = 0×f(1) + 1×f(0) = f(0),正确.
② 令a = 0, b = 0, 有
f(0) = 0×f(0) + 0×f(0) = 0.
令a = x, b = -x (x != 0), 有
f(0) = x f(-x) - x f(x) = 0. f(-x) = f(x),正确.
③ 令a = b = 2^(n-1), 有
f(2^n) = 2^(n-1) f[2^(n-1)] + 2^(n-1) f[2^(n-1)] = 2^n f[2^(n-1)]
a(n) = f(2^n)/n = 2^n f[2^(n-1)]/n = [(n-1) 2^n / n] a(n-1)
{a(n)}不是等比数列,错误.
④ b(n) = f(2^n) / 2^n = 2^n f[2^(n-1)] / 2^n = f[2^(n-1)] = 2^(n-1) b(n-1)
{b(n)}不是等差数列,错误.
正确的是①②.
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5、在f(m,n)中,m、n、f(m,n)均为非负整数,且对任意m、n有：①f(0,n)=n+1,②f(m+1,0)=f(m,1),③f(m+1,n+1)=f[m,f(m+1,n)],试求：（1）f(1,0)的值.（2）f(1,n)关于n的表达式,（3）f(3,n)关于n的表达式. （这道题与上题比较 说明了一下f(m,n) 但我只有第一问知道是=2 后头做不来了）
注：双元数列,想办法固定一个变量,变成一元数列去做.
(1) 由条件②,f(1, 0) = f(0, 1).由条件①,f(0, 1) = 1 + 1 = 2.
故f(1, 0) = 2.
(2) 依次利用条件③和①,f(1, n) = f[0, f(1, n-1)] = f(1, n-1) = f(1, n-1) + 1.这是关于n的等差数列,公差为1.
由(1)问有f(1, 0) = 2.
故f(1, n) = f(1, 0) + 1×n = n + 2.
(3) 依次利用条件③、①,和第(2)问结果,f(2, n) = f[1, f(2, n-1)] = f(2, n-1) + 2.这又是一个关于n的等差数列,公差为2.
由条件②,f(2, 0) = f(1, 1) = 3.
故f(2, n) = f(2, 0) + 2×n = 3 + 2n . (1)
再依次利用条件③、①和公式(1),f(3, n) = f[2, f(3, n-1)] = 3 + 2f(3, n-1).
f(3, n) = 2[f(3, n-1) + 3] - 3 . (2)
由条件②,f(3, 0) = f(2, 1) = 5.
设a(n) = f(3, n) + 3, 则a(0) = 8. 由(2)得
a(n) = 2a(n-1)
这是一个等比数列,公比为2.
a(n) = 8×2^n = 2^(n+3)
代回原式,
得f(3, n) = 2^(n+3) - 3
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做完了- -
我没检查,不过思路应该差不多吧.

如有错误请指正，谢谢！
1.集合M={x|x=f(x) x∈R}指的是y=x与x=f(x)的交点的集合。N={x|x=f[f(x)]},指的是x=f(x)与x=f(x)的反函数的交点的集合。有个
定理是x=f(x)如果与其反函数有交点则交点在y=x直线上。具体证明你来写吧。
2.
（1)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y).不妨设x=y，则f(x×...

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如有错误请指正，谢谢！
1.集合M={x|x=f(x) x∈R}指的是y=x与x=f(x)的交点的集合。N={x|x=f[f(x)]},指的是x=f(x)与x=f(x)的反函数的交点的集合。有个
定理是x=f(x)如果与其反函数有交点则交点在y=x直线上。具体证明你来写吧。
2.
（1)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y).不妨设x=y，则f(x×x)=f(x)×f(x)>=0.如果存在正实数a使得f（a）=0则有f（2）=f
（a)*f(2/a)=0
所以不存在使f(x)等0的数，则有f（x）=f（x^-2）*f（x^-2）>0
(2)f(x）=f（x*1）=f（x）*f（1）所以可得f（1）=1.
又f（1)=(x*1/x）=f（x)*f(1/x）=1
（3）当x＞1时，取任意两个数x1>x2.则f(x1)=f（x2*x1/x2）=f（x2)*f(x1/x2).由于x1/x2>1所以f(x1/x2)<1.则f(x1)>f（x2).
对于x<1s的情况用f（1)=1=(x*1/x）=f（x)*f(1/x）来证明。
3. a1 1 a2 0 a3 3 a4 4
a5 13 a6 12 a7 39 a8 40
a9 121 a10 120

a（4k）=[(3^2k)-1]/2
a(4k+1）={[(3^2k)-1]/2}-1
a（4k+2）={[(3^（2k+1）)-1]/2｝-1
a(4k+3）={[(3^(2k+1)-1]/2}
4.
想了一下题目可能有问题。
f（a,b）的意思是函数f是关于a，b的函数。f（a，b）就是个符号，没意义的。f(a,b)=a×f(b)+b×f(a）也不是条件。因为f（a，b）也可以写成g（a，b）=f（a，b）。就本题来说，由于前面出现了函数f（x），极有可能是f（z（a，b））（其中z（a，b）是关于a，b的函数，例如a+b，a*b，a-b），这样f（z（a，b））就有意义了。是a*b的可能性大。因为“.”和“，”挺像。呵呵
5.
(2)f（1,n)=f(0+1,(n-1)+1)=f（0，f（1，n-1))=f（1，n-1)+1=......=
f（1，0）+n=n+2
(3)f(2,n）=f（1，f(2,n-1))=f（2，n-1）+2
设an=f(2,n）则有an=a（n-1)+2
an为等差数列
的an=2n+3
f（3，n)=f(2,f(3,n-1))=2f(3,n-1)+3
设bn=f（3，n)
则：bn=2*b(n-1)+3
bn+3=2[b(n-1)+3]=2*2[b(n-2)+3]=2^n[b(0)+3]
b（0）=f（3，0）=f(2,1）=5
所以bn=2^(n+3) -3

收起

1.集合M={x|x=f(x) x∈R}指的是y=x与x=f(x)的交点的集合。N={x|x=f[f(x)]},指的是x=f(x)与x=f(x)的反函数的交点的集合。有个
定理是x=f(x2.
（1)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y).不妨设x=y，则f(x×x)=f(x)×f(x)>=0.如果存在正实数a使得f（a）=0则有f（2）=f
（a)*f(2...

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1.集合M={x|x=f(x) x∈R}指的是y=x与x=f(x)的交点的集合。N={x|x=f[f(x)]},指的是x=f(x)与x=f(x)的反函数的交点的集合。有个
定理是x=f(x2.
（1)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y).不妨设x=y，则f(x×x)=f(x)×f(x)>=0.如果存在正实数a使得f（a）=0则有f（2）=f
（a)*f(2/a)=0
所以不存在使f(x)等0的数，则有f（x）=f（x^-2）*f（x^-2）>0
(2)f(x）=f（x*1）=f（x）*f（1）所以可得f（1）=1.
又f（1)=(x*1/x）=f（x)*f(1/x）=1
（3）当x＞1时，取任意两个数x1>x2.则f(x1)=f（x2*x1/x2）=f（x2)*f(x1/x2).由于x1/x2>1所以f(x1/x2)<1.则f(x1)>f（x2).
对于x<1s的情况用f（1)=1=(x*1/x）=f（x)*f(1/x）来证明。
3. a1 1 a2 0 a3 3 a4 4
a5 13 a6 12 a7 39 a8 40
a9 121 a10 120

a（4k）=[(3^2k)-1]/2
a(4k+1）={[(3^2k)-1]/2}-1
a（4k+2）={[(3^（2k+1）)-1]/2｝-1
a(4k+3）={[(3^(2k+1)-1]/2}
4.
想了一下题目可能有问题。
f（a,b）的意思是函数f是关于a，b的函数。f（a，b）就是个符号，没意义的。f(a,b)=a×f(b)+b×f(a）也不是条件。因为f（a，b）也可以写成g（a，b）=f（a，b）。就本题来说，由于前面出现了函数f（x），极有可能是f（z（a，b））（其中z（a，b）是关于a，b的函数，例如a+b，a*b，a-b），这样f（z（a，b））就有意义了。是a*b的可能性大。因为“.”和“，”挺像。呵呵
5.
(2)f（1,n)=f(0+1,(n-1)+1)=f（0，f（1，n-1))=f（1，n-1)+1=......=
f（1，0）+n=n+2
(3)f(2,n）=f（1，f(2,n-1))=f（2，n-1）+2
设an=f(2,n）则有an=a（n-1)+2
an为等差数列
的an=2n+3
f（3，n)=f(2,f(3,n-1))=2f(3,n-1)+3
设bn=f（3，n)
则：bn=2*b(n-1)+3
bn+3=2[b(n-1)+3]=2*2[b(n-2)+3]=2^n[b(0)+3]
b（0）=f（3，0）=f(2,1）=5
所以bn=2^(n+3) -3

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2、已知函数f(x)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y),且当x＞1时，f(x)＜1，又f(2)=1/4.
（1）求证：f(x)＞0，（2）求证：f(x^-1)=[f(x)]^-1,（3）求证：f(x)在R+上为单调递减函数.(这题我有点没法)
注：这道题的原型是f(x) = 1/(x^2)。如果能看出来就可以直接做了。这里给出不知道f(x)的解答。
(1...

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2、已知函数f(x)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y),且当x＞1时，f(x)＜1，又f(2)=1/4.
（1）求证：f(x)＞0，（2）求证：f(x^-1)=[f(x)]^-1,（3）求证：f(x)在R+上为单调递减函数.(这题我有点没法)
注：这道题的原型是f(x) = 1/(x^2)。如果能看出来就可以直接做了。这里给出不知道f(x)的解答。
(1) 证明：
任取m > 0，令x = y = Sqrt(m), 立得f(m) = f(x)f(x) >= 0.
现在证明不存在f(x) = 0的情况。
假设存在某数a > 0，使得f(a) = 0. 令x = a, y = 2/a，则有f(2) = f(a)f(2/a) = 0. 这和已知f(2) = 1/4矛盾。故假设不成立，不存在使得f(a) = 0的a值。
故有f(x) > 0.
(2) 证明：
令x = 2, y = 1，有f(2) = f(2)f(1)，得到f(1) = 1.
令y = x^(-1) = 1/x，有f(1) = f(x)f(1/x)，得到f(x)f(x^-1) = 1. 因f(x) > 0，有
f(x^-1) = [f(x)]^-1
(3) 证明：
任取x1, x2使得0 < x1 < x2。令x = x1, y = x2 / x1. 根据取法，y > 1. 有f[x1 * (x2/x1)] = f(x2) = f(x1)f(x2/x1). 即f(x2)/f(x1) = f(x2/x1)
依题意，当x＞1时，f(x)＜1。故f(x2)/f(x1) < 1。因f(x1) > 0，有
f(x1) > f(x2)
所以f(x)在R+上为单调递减函数.

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