设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1求证:数列{1/Sn-1}为等差数列,n=1,2,3...
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 08:24:46
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1求证:数列{1/Sn-1}为等差数列,n=1,2,3...
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1
求证:数列{1/Sn-1}为等差数列,
n=1,2,3...
设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1求证:数列{1/Sn-1}为等差数列,n=1,2,3...
因为方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1
所以（Sn-1)^2-an*（Sn-1)-an=0
an=(Sn-1)^2/Sn
当n>=2时,有an=Sn-S(n-1)
Sn-S(n-1)=(Sn-1)^2/Sn
Sn^2-SnS(n-1)=Sn^2-2Sn+1
2Sn-SnS(n-1)=1
2Sn=SnS(n-1)+1
Sn-S(n-1)=SnS(n-1)-S(n-1)-Sn+1
Sn-S(n-1)=(Sn-1)(S(n-1)-1)
即[Sn-1]-[S(n-1)-1]=(Sn-1)(S(n-1)
即1/[S(n-1)-1]-1/[Sn-1]=1
1/[Sn-1]-1/[S(n-1)-1]=-1
所以数列{1/(Sn-1)}是以1/(S1-1)为首项,-1为公差的等差数列.
由（Sn-1)^2-an*（Sn-1)-an=0及S1=a1可求出S1
（Sn-1)^2-S1*（S1-1)-S1=0得S1=1/2
首项1/(S1-1)=1/（1-1/2）=2
因S1=a1，故有
(a1-1)^2-a1(a1-1)-a1=0
解得a1=1/2
及
(1/2+a2-1)^2-a2(1/2+a2-1)-a2=0
解得a2=1/6
同理解得a3=1/12
将Sn-1代入方程x^2-anx-an=0，得
(Sn-1)^2-an(Sn-1)-an=0
将an=Sn-S(n-1)代入上式，得
全部展开
因S1=a1，故有
(a1-1)^2-a1(a1-1)-a1=0
解得a1=1/2
及
(1/2+a2-1)^2-a2(1/2+a2-1)-a2=0
解得a2=1/6
同理解得a3=1/12
将Sn-1代入方程x^2-anx-an=0，得
(Sn-1)^2-an(Sn-1)-an=0
将an=Sn-S(n-1)代入上式，得
(Sn-1)^2-[Sn-S(n-1)](Sn-1)-an=0
化简得
SnS(n-1)-2Sn+1=0
[Sn-1+1][S(n-1)-1+1]-2(Sn-1+1)+1=0
(Sn-1)[S(n-1)-1]+(Sn-1)+[S(n-1)-1]+1-2(Sn-1)-2+1=0
(Sn-1)[S(n-1)-1]-(Sn-1)+[S(n-1)-1]=0
[S(n-1)-1]-(Sn-1)=-(Sn-1)[S(n-1)-1]
1/(Sn-1)-1/[S(n-1)-1]=-1
故数列{1/[Sn-1]}为等差数列。
不明白请追问。
收起
Sn-1是前n-1项的和S(n-1)，还是前n项的和Sn再减1？请加括号表达清楚。