n的阶乘除以n的n次方,在开n次根,极限是多少?具体怎么算,各位达人指导指导!

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/24 02:58:21

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n的阶乘除以n的n次方,在开n次根,极限是多少?
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Xn=(n!/n^n)^(1/n)
两边取对数,
lnXn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))
上式可看成 f(x)=lnx 在[0,1]上的一个积分和.即对[0,1]
区间作n等分,每个小区间长1/n.
因此当n趋于无穷时,lnXn等于f(x)=lnx在[0,1]上的定积分.
lnx在[0,1]上的定积分为-1
所以 lnXn在n趋于无穷时的极限为-1.
由于 Xn=e^(lnXn),
于是 Xn在n趋于无穷时的极限值为1/e.

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