已知实数abc,满足a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小关系
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/27 04:41:36
已知实数abc,满足a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小关系
已知实数abc,满足a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小关系
已知实数abc,满足a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小关系
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
a^2+b^2+c^2>=1/3>=ab+bc+ac
(a-b)²≥0 a²+b²≥2ab
(b-c)²≥0 b²+c²≥2bc
(c-a)²≥0 a²+c²≥2ac
相加
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)
a²+b²+c²≥ab+bc+...
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(a-b)²≥0 a²+b²≥2ab
(b-c)²≥0 b²+c²≥2bc
(c-a)²≥0 a²+c²≥2ac
相加
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)
a²+b²+c²≥ab+bc+ca (当a=b=c=1/3时取等号)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1
ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca≤1
3(ab+bc+ca)≤1
ab+bc+ca≤1/3
a²+b²+c²=1-2(ab+bc+ca)≥1-2/3=1/3
综上,得a²+b²+c²≥1/3≥ab+bc+ca
收起
a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)/2
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2
>=0
所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
a^2+b^2+c^2<=[(a+b+c)^(1/3)]/3=1/3
所以ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<=1/3
1.“满意回答”是错的!a可能不等于b可能不等于c!
根据公式(a+b/2)²>=ab可能得三种情况:
a=b时,ab有max----a=b=0.15;
a=c时,ac有max----b=c=0.25;
c=b时,cb有max----c=a=0.35
2.本答案乃根据“抢钱师奶”进行修改;
(a²+...
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1.“满意回答”是错的!a可能不等于b可能不等于c!
根据公式(a+b/2)²>=ab可能得三种情况:
a=b时,ab有max----a=b=0.15;
a=c时,ac有max----b=c=0.25;
c=b时,cb有max----c=a=0.35
2.本答案乃根据“抢钱师奶”进行修改;
(a²+b²+c²)-(ab-ac-bc)=2[(a²+b²+c²)-(ab-ac-bc)]=(a-c)²+(a-b)²+(b-c)²>=0
所以a²+b²+c²>=ab+bc+ac
已知a+b+c=1,两边平方得a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=1
用a²+b²+c²-1/3=a²+b²+c²-1/3[a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)]
=2/3 (a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=1/3 [(a-c)²+(a-b)²+(b-c)²]>=0
所以a²+b²+c²>=1/3
所以1/3+2(ab+bc+ac)<=1——————a>m,a+b=n,m+b
收起
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0 ===>>>> 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0
则:a²+b²+c²≥ab+bc+ca
(a+b+c)²=1 ===>>>> a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1 ====>>...
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(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0 ===>>>> 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0
则:a²+b²+c²≥ab+bc+ca
(a+b+c)²=1 ===>>>> a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1 ====>>> 3(ab+bc+ca)≥1 ===>>>
===>>> ab+bc+ca≥1/3
则:a²+b²+c²≥ab+bc+ca≥1/3
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(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)>=(a*1+b*1+c*1)^2=1
所以a^2+b^2+c^2>=1/3
又(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0,
所以ab+bc+ca<=1/3
综上,有a^2+b^2+c^2>=1/3>=ab+bc+ca
用特值法,令它们均为1/3,代入即得
已知a+b+c=1,两边平方得a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=1
用a²+b²+c²-1/3=a²+b²+c²-1/3[a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)]
=2/3(a²+b²+c...
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已知a+b+c=1,两边平方得a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=1
用a²+b²+c²-1/3=a²+b²+c²-1/3[a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)]
=2/3(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=2/3[a²+b²+c²-(1-a²-b²-c²)/2]
=(a²+b²+c²+1)/3 由于a,b,c都是实数,故一定大于0,则a²+b²+c²大于1/3
由于a²+b²+c²大于1/3,则1/3+2(ab+bc+ac)小于1,继而得到ab+bc+ac小于1/3
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