大一微积分解答:lim(n→+∞)(2^n+4^n+6^n+8^n)^1/n=?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/22 18:52:40
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大一微积分解答:lim(n→+∞)(2^n+4^n+6^n+8^n)^1/n=?
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原式取自然对数,得lim(n→+∞) (1/n)*ln(2^n+4^n+6^n+8^n)=lim(n→+∞) ln(2^n+4^n+6^n+8^n)/n
上下趋于无穷,使用洛必达法则得(2^n*ln2+4^n*ln4+6^n*ln6+8^n*ln8)/(2^n+4^n+6^n+8^n)
上下同除8^n得[(2/8)^n*ln2+(4/8)^n*ln4+(6/8)^n*ln6+ln8)]/[(2/8)^n+(4/8)^n+(6/8)^n+1]
n→+∞时所有真分数n次幂趋于0,得结果ln8,则原极限是e^(ln8)=8
括号里提出8^n得到
lim(n→+∞)(2^n+4^n+6^n+8^n)^1/n=8lim(n→+∞)((1/4)^n+(1/2)^n+(3/4)^n+1)^1/n
= 8
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