切比雪夫多项式问题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 18:07:54
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切比雪夫多项式问题
切比雪夫多项式问题
首先cos(2x) = 2cos²(x)-1.
于是cos(4x) = 2cos²(2x)-1 = 2(2cos²(x)-1)²-1 = 8cos(x)^4-8cos²(x)+1.
又sin(2x) = 2sin(x)cos(x),sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) = 4sin(x)cos(x)(2cos²(x)-1).
cos(5x) = cos(4x)cos(x)-sin(4x)sin(x) = 8cos(x)^5-8cos³(x)+cos(x)-4sin²(x)cos(x)(2cos²(x)-1)
= 8cos(x)^5-8cos³(x)+cos(x)-4(1-cos²(x))(2cos²(x)-1)cos(x)
= 16cos(x)^5-20cos³(x)+5cos(x).
因此P5(x) = 16x^5-20x³+5x.
易见P5(x)在[-1,1]上的值域 = P5(cos(x))在R上的值域.
而P5(cos(x)) = cos(5x),因此值域为[-1,1].
故P5(x)在[-1,1]上的值域为[-1,1].
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